КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Задание 1

Вариант 1

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 2

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 3

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 4

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 5

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 6

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 7

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 8

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 9

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 10

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 11

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 12

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант №13

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 14

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 15

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 16

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 17

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 18

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 19

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 20

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 21

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 22

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 23

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 24

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 25

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 26

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 27

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 28

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 29

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Вариант 30

1. Решить систему методом Гаусса, матричным методом и по формулам Крамера:

Задание 2

Вариант 1

Даны вершины А₁(3,1,4), А₂(-1,6,1), А₃(-1,1,6 ), А₄(0,4,-1 ) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5) V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 2

Даны вершины А₁(3,3,9), А₂(6,9,1), А₃(1,7,3), А₄(8,5,8 ) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7)уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 3

Даны вершины А₁(3,5,4), А₂(5,8,3), А₃(1,9,9), А₄(6,4,8) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) S (А₁А₂А₃ );

5) V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 4

Даны вершины А₁(2,4,3), А₂(7,6,3), А₃(4,9,3), А₄(3,6,7) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 5

Даны вершины А₁(9,5,5), А₂(-3,7,1), А₃(5,7,8), А₄(6,9,2) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 6

Даны вершины А₁(0,7,1), А₂(4,1,5), А₃(4,6,3), А₄(3,9,8) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 7

Даны вершины А₁(5,5,4), А₂(3,8,4), А₃(3,5,10), А₄(5,8,2) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 8

Даны вершины А₁(6,1,1), А₂(4,6,6), А₃(4,2,0), А₄(1,2,6) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 9

Даны вершины А₁(7,5,3), А₂(9,4,4), А₃(4,5,7), А₄(7,9,6) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7)уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 10

Даны вершины А₁(6,6,2), А₂(5,4,7), А₃(2,4,7), А₄(7,3,0) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 11

Даны вершины А₁(3,1,4), А₂(-1,6,1), А₃(-1,1,6 ), А₄(0,4,-1 ) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6)уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 12

Даны вершины А₁(3,3,9), А₂(6,9,1), А₃(1,7,3), А₄(8,5,8 ) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7)уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 13

Даны вершины А₁(3,5,4), А₂(5,8,3), А₃(1,9,9), А₄(6,4,8) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) S (А₁А₂А₃ );

5) V (А₁А₂А₃А₄ );

6) Уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 14

Даны вершины А₁(2,4,3), А₂(7,6,3), А₃(4,9,3), А₄(3,6,7) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 15

Даны вершины А₁(9,5,5), А₂(-3,7,1), А₃(5,7,8), А₄(6,9,2) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6)уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 16

Даны вершины А₁(0,7,1), А₂(4,1,5), А₃(4,6,3), А₄(3,9,8) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 17

Даны вершины А₁(5,5,4), А₂(3,8,4), А₃(3,5,10), А₄(5,8,2) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6)уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 18

Даны вершины А₁(6,1,1), А₂(4,6,6), А₃(4,2,0), А₄(1,2,6) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6)уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 19

Даны вершины А₁(7,5,3), А₂(9,4,4), А₃(4,5,7), А₄(7,9,6) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7)уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Вариант 20

Даны вершины А₁(6,6,2), А₂(5,4,7), А₃(2,4,7), А₄(7,3,0) пирамиды.

Найти : 1) длину ребра А₁А₂ ;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4)S (А₁А₂А₃ );

5)V (А₁А₂А₃А₄ );

6) уравнение высоты, опущенной из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ ;

7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из точки А₄ на грань А₁А₂А₃ и вершину А₁ пирамиды.

Задание 3

Вариант 1

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно прямой, соединяющей точки и .

2.Показать, что прямая лежит в плоскости .

3. Даны середины сторон треугольника АВС: , , . Составить уравнения стороны ВС.

Вариант 2

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно линии пересечения плоскостей , .

2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки и .

3. Дан треугольник с вершинами , , . Найти внутренний угол А этого треугольника, как угол между двумя прямыми.

Вариант 3

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку .

2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Вариант 4

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам , .

2. Даны вершины треугольника ; и . Составить каноническое уравнение медианы АD.

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , и параллельно прямой .

Вариант 5

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки и и параллельной вектору .

2. Доказать, что прямые параллельны .

3. Даны две вершины треугольника АВС , , его высоты пересекаются в точке . Определить координаты третьей вершины треугольника.

Вариант 6

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой

2. Найти угол между прямой и плоскостью .

3. Даны две вершины треугольника , и . Написать уравнение медианы АD.

Вариант 7

1. Из точки опущен на плоскость перпендикуляр; его основание . Найти уравнение плоскости и уравнение перпендикуляра.

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через пару параллельных прямых и .

3.Найти угол между прямыми и .

Вариант 8

1. Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку под углом в к данной прямой.

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум неколлинеарным векторам и .

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой: .

Вариант 9

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и точку перпендикулярно к плоскости .

2. Найти угол между осью ОХ и прямой: .

3. Даны точки и . Написать уравнение прямой, проходящей через точку В к АВ.

Вариант 10

1. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ОХ.

2. Найти угол между плоскостями и , если , : .

3. В равнобедренном треугольнике АВС заданы вершины , уравнение основания (АС) и уравнение боковой стороны (АВ). Написать уравнение стороны (ВС).

Вариант 11

1. Уравнение прямой написать в каноническом и параметрическом видах.

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и и точку А ( 5; 0).

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; -2;4 ) перпендикуляр к прямой .

Вариант 12

1. Составить уравнение плоскости проходящей через т. М₁ (2; 3;-1) и М₂ (1; 0; 3) перпендикулярно плоскости

2. Написать каноническое и параметрическое уравнение прямой проходящей через т. М₁ (2; -1; 1) и М₂ (3; 3; -1)

3. Найти угол между прямыми:

Вариант 13

1. Составить уравнение плоскости, проходящий через прямую: и точку М ( 2; -3; -4).

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А ( 2; -3; -4) параллельно прямой: .

3. Найти острый угол, образованный с осью ординат прямой, проходящей через точки М ( 2; ) и N (3; ).

Вариант 14

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки А ( -2; 1; -3) и В ( 1; 3; -2) и параллельной вектору = ( -2; 2; -1).

2. Доказать что прямые l₁ и l₂ параллельны

3. Даны вершины треугольника: А ( 0; 1 ), В ( 6; 5 ), С ( 12; -1 ). Написать уравнение высоты треугольника, проведённой из вершины (А). Найти величину угла (А).

Вариант 15

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через т. М₀ (2; 3; -1) параллельны векторам ( 3; -2; -1) и ( -1; 5; -3)

2. Даны вершины треугольника А (2; 3; -1) В ( 1; -2; 0) и С (-3; 2; 2). Составить каноническое уравнение медианы (АD).

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , и параллельны прямой .

Вариант 16

1. Определить угол , образованный двумя прямыми: и .

2. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку А ( 2; -1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям и .

3. Найти точку пересечения прямой и плоскости: ; .

Вариант 17

1. Задана прямая линия и точка М ( 0;1;2; ), М l.Написать уравнение плоскости, проходящей через эту прямую и точку М.

2. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

А ( 2; 0; -1) параллельно прямой .

3. В треугольнике АВС координаты вершины В (2; -7). Уравнение высоты,

опущенной из вершины А: . Написать уравнение стороны ВС.

Вариант 18

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно прямой, соединяющей точки и .

2. Показать, что прямая лежит в плоскости .

3. Даны середины сторон треугольника АВС: , , . Составить уравнения стороны ВС.

Вариант 19

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно линии пересечения плоскостей , .

2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки и .

3. Дан треугольник с вершинами , , . Найти внутренний угол А этого треугольника, как угол между двумя прямыми.

Вариант 20

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку .

2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Вариант 21

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку

параллельно векторам , .

2. Даны вершины треугольника ; и . Составить каноническое уравнение медианы АD.

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , и параллельно прямой .

Вариант 22

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки и и параллельной вектору .

2. Доказать, что прямые параллельны .

3. Даны две вершины треугольника АВС , , его высоты пересекаются в точке . Определить координаты третьей вершины треугольника.

Вариант 23

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой

2. Найти угол между прямой и плоскостью .

3. Даны две вершины треугольника , и . Написать уравнение медианы АD.

Вариант 24

1. Из точки опущен на плоскость перпендикуляр; его основание . Найти уравнение плоскости и уравнение перпендикуляра.

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через пару параллельных прямых и .

3. Найти угол между прямыми и .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Вычислить пределы, не применяя правило Лопиталя

Вариант 1

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

Вариант 2

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

Вариант 3

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

Вариант 4

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

Вариант 5

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

Вариант 6

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

Вариант 7

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

Вариант 8

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

Вариант 9

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

Вариант 10