Методика выполнения контрольной работы

При выполнении задач 1−3 следует:

1-й шаг) определить способ задания функции − явный или параметрический. Если функция − явная, то перейти к 2-му шагу; если функция задана параметрическим способом, то перейти к 3-му шагу;

2-й шаг) упростить функцию и выбрать подходящие правила дифференцирования, определить и реализовать последовательность их применения;

3-й шаг) использовать правило 7 параметрического дифференцирования и правила 1-6 при нахождении производных .

В задаче 4 следует:

1) определить способ задания функции − явный или параметрический;

2) в зависимости от способа задания функции выбрать формулы для вычисления параметров искомых прямых, в частности:

○ для явной функции параметр ;

○ для функции, заданной параметрическими уравнениями , найти параметр по формуле ;

3) заполнить табл. 1;

4) по значению выбрать подходящий частный случай − один из трех: 1) , 2) 0; 3) ) и составить уравнение касательной и/или уравнение нормали.

В задаче 5 следует:

1-й шаг) подставить предельное значение аргумента и найти предел или установить наличие неопределенности или отсутствие предела. В случае неопределенности определить ее вид;

2-й шаг) Если неопределенность имеет вид , то согласно правилу Лопиталя составить новое предельное выражение . При отыскании производных числителя и знаменателя использовать методику дифференцирования явных функций.

Если на 1-м шаге получена неопределенность иного вида, то функцию надо преобразовать так, чтобы получилась неопределенность вида , и вернуться к началу этого пункта.

3)повторить пункты 1) и 2) данной методики для нового предельного выражения . Заметим, что при неоднократном применении правила Лопиталя порядки производных будут расти.

Если в ходе применения правила Лопиталя получается выражение, не имеющее никакого предела, то следует использовать иной способ решения задачи − тождественные преобразования, эквивалентные функции, замечательные пределы или сочетание приемов.

ПОШАГОВОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

Задача 1. Найдите производную функции

1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана явно. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).

2-й шаг. Упрощаем функцию

.

Выбираем правило 1 для дифференцирования суммы:

Задача 2. Найдите производную функции

1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана явно. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).

2-й шаг. Упростить функцию нельзя. Данная функция является произведением константы и двух функций: Функция − табличная, −

нетабличная сложная функция:

Выполним дифференцирование в следующем порядке:

− сначала выносим константу за знак производной по правилу 4:

;

− применяем правило 3 дифференцирования произведения:

;

− находим производные двух оставшихся функций:

по таблице производных ;

по правилу дифференцирования сложной функции:

;

− «собираем» ответ:

.

Задача 3. Найдите производную функции

1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана параметрически. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).

2-й шаг. Возможность упрощения функции отсутствует. Применяем правило 8 дифференцирования параметрически заданной функции:

.

В данном примере

Задача 4. Напишите уравнение касательной к кривой в точке, где .

1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана явно. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).

2-й шаг. Находим параметры касательной: из условий задачи, , так как . Вычисляем параметр по формуле . Функция является

сложно-степенной функцией, производную которой можно найти при помощи предварительного логарифмирования: Дифференцируем

обе части равенства по переменной или

.

При .

3-й шаг. Заполним табл. 1:

4-й шаг. Так как и , то имеем дело с 1-м случаем: − уравнение касательной, или или .

Задача 5. Найдите предел

1-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в заданную функцию: Получаем неопределенность вида , для раскрытия которой применяем правило Лопиталя.

2-й шаг. Согласно правилу Лопиталя составляем новое предельное выражение: . При вычислении производных числителя и знаменателя использованы правила 1, 2 и таблица производных.

3-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в новую функцию: . Получаем неопределенность вида , для раскрытия которой повторно применяем правило Лопиталя.

4-й шаг. Составляем новое предельное выражение: =

5-й шаг. Вычисляем предел и получаем ответ: .

Вариант контрольной работы