Основные теоремы о пределах
Пределом функции в точке «а» называется постоянная величина «b», если для любого положительного сколь угодно малого 
>0 найдется такое положительное число 
>0, что для всех 
выполняется неравенство 
, что символически записывается так:
,
При вычислении пределов функций будем пользоваться следующими теоремами:
1. Предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их пределов.
2. Предел произведения функций равен произведению их пределов.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак предела.
4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если последний не равен нулю.
Кроме этих теорем широкое применение имеют два замечательных предела:
1. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге равен единице.
, или 
. (4.1.1)
2. Предел выражения:
или 
. (4.1.2)
Рассмотрим применение указанных теорем в решении конкретных примеров.
Пример 13.
Вычислить предел 
Решение:
а) 
Подставив предельное значение аргумента в заданное выражение, получим неопределенность вида 
, для раскрытия которой числитель и знаменатель дроби разложим на множители, найдя предварительно корни трехчленов.
б) 
Подстановка предельного значения х показывает, что имеем неопределенность вида 
, для раскрытия которой числитель и знаменатель дроби делим почленно на 
.При этом получим пределы вида 
и т. д., которые равны нулю.
.
Пример 14.
Вычислить предел 
.
Решение:
Нетрудно убедиться, что имеем неопределенность 
, которая в отличие от предыдущего примера, содержит иррациональность в числителе.
Чтобы освободиться от этой иррациональности, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю. Применив затем формулу разности квадратов двух чисел и упростив числитель, можем сократить дробь.
Оставшаяся дробь не содержит нуль в знаменателе и дает возможность арифметического подсчета.
= 
= 
.
Пример 15.
Вычислить предел 
.
Решение:
Преобразуем данное выражение: 
В каждом сомножителе выполним несложные преобразования, позволяющие применить 1-ый замечательный предел:
.
Пример 16.
Вычислить предел 
Решение:
Преобразуем исходное выражение так, чтобы использовать 2-ой замечательный предел.
Выделим внутри скобки единицу, сделаем замену переменной и преобразуем показатель степени.
= 
= 
= 
.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется пределом функции в точке х=а?
2. Назовите основные теоремы о пределах.
3. Сформулируйте два замечательных предела.
Варианты индивидуальных заданий
Задание 1
Решить систему уравнений методами Крамера и Гаусса. Сделать проверку полученного решения.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Задание 2
Даны координаты вершин треугольника АВС.
Найти:
1)длину стороны АВ;
2)уравнение стороны АВ и ее угловой коэффициент;
3)уравнение и длину высоты СД;
4)уравнение медианы АЕ;
5)уравнение прямой, проведенной через точку Е, параллельно стороне АВ;
6)сделать чертеж.
1. А(-5;0), В(7;9), С(5;-5). 11. А(-5;2), В(7;-7), С(5;7).
2. А(-7;2),В(5;11),С(3;-3). 12. А(-7;5), В(5;-4), С(3;10).
3. А(-5;-3), В(7;6), С(5;-8). 13. А(-7;1), В(5;-8), С(3;10).
4. А(-6;-2), В(6;7), С(4;-7). 14. А(0;3), В(12;-6), С(10;8).
5. А(-8;-4), В(4;5), С(2;-9). 15. А(-8;4), В(4;-5), С(2;9).
6. А(0;-1), В(12;8), С(10;-6). 16. А(-2;2), В(10;-7), С(8;7).
7. А(-6;1), В(6;10), С(4;-4). 17. А(1;2), В(13;-7), С(11;7).
8. А(-2;-4), В(10;5), С(8;-9). 18. А(-4;1), В(8;-8), С(6;6).
9. А(-3;0), В(9;9), С(7;-5). 19. А(-7;-1), В(5;-10), С(3;4).
10. А(-9;-2), В(3;7), С(1;-7). 20. А(-3;3), В(9;-6), С(7;8).
Задание 3
Даны координаты вершин пирамиды АВСД.
Найти:
1) векторы 
в системе орт и их модули;
2) угол между векторами 
;
3) площадь грани АВС;
4) объем пирамиды АВСД;
5) уравнение ребра АВ;
6) уравнение плоскости АВС;
7) уравнение высоты, опущенной из точки Д на плоскость АВС.
1. А(1;2;1), В(-1;5;1), С(-1;2;7), D(1;5;9).
2. А(2;3;2), В(0;6;2), С(0;3;8), D(2;6;10).
3. А(0;3;2), В(-2;6;2), С(-2;3;8), D(0;6;10).
4. А(2;1;2), В(0;4;2), С(0;1;8), D(2;4;10).
5. А(2;3;0), В(0;6;0), С(0;3;6), D(2;6;8).
6. А(2;2;1), В(0;5;1), С(0;2;7), D(2;5;9).
7. А(1;3;1), В(-1;6;1), С(-1;3;7), D(1;6;9).
8. А(1;2;2), В(-1;5;2), С(-1;2;8), D(1;5;10).
9. А(2;3;1), В(0;6;1), С(0;3;7), D(2;6;9).
10. А(2;2;2), В(0;5;2), С(0;2;8), D(2;5;10).
11. А(1;3;2), В(-1;6;2), С(-1;3;8), D(1;6;10).
12. А(0;1;2), В(-2;4;2), С(-2;1;8), D(0;4;10).
13. А(0;3;0), В(-2;6;0), С(-2;3;6), D(0;6;8).
14. А(2;1;0), В(0;4;0), С(0;1;6), D(2;4;8).
15. А(0;2;1), В(-2;5;1), С(-2;2;7), D(0;5;9).
16. А(1;1;1), В(-1;4;1), С(-1;1;7), D(1;4;9).
17. А(1;2;0), В(-1;5;0), С(-1;2;6), D(1;5;8).
18. А(0;1;0), В(-2;4;0), С(-2;1;6), D(0;4;8).
19. А(0;1;1), В(-2;4;1), С(-2;1;7), D(0;5;9).
20. А(0;2;0), В(-2;5;0), С(-2;2;6), D(0;5;8).
Задание 4
Вычислить пределы:
1. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
2. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
3. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
4. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
5. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
6. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
8. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
9. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
10. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
11. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
12. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
13. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
14. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
15. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
16. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
17. а) 
; б) 
;
в) 
г) 
.
18. а) 
б) 
в) 
г) 
19. а) 
б) 
в) 
г) 
20. а) 
б) 
в) 
г) 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Письменный Д. Т.
Конспект лекций по высшей математике : полный курс / Д. Т. Письменный . - 9-е изд. - М.: Айрис-Пресс, 2008. – 280с.- Ч. 1.
2. Пискунов Н. С.
Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов / Н. С. Пискунов. - изд. стер.. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 415 с. Т.1.
3. Шипачев В.С.
Курс высшей математики: учебник для вузов / В.С.Шипачев; Под редакцией А.Н. Тихонова. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство Оникс, 2007 – 600с.: ил.
4. Берман Г. Н.
Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г. Н. Берман. - 22-е изд., перераб. - СПб.: Профессия, 2006 - 432 с.
5. Лунгу К.Н.
Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие / К.Н.Лунгу и др.- 7-е изд..- М.: Айрис Пресс, 2008.- 574 с.
6. Шипачев В. С.
Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. - 8-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2008. - 304 с.: ил.
7. Данко П. Е.
Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова . - 6-е изд..-М.: ОНИКС.- 2008 .-368 с.- Ч.1.