Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

Вектор – отрезок, имеющий определенную длину и направление. Любой вектор можно разложить по ортам координатных осей:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , где

х, у, z – проекции вектора Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru на оси координат, Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru - орты (единичные векторы координатных осей).

Модуль (длина) вектора Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru определяется по формуле:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru (3.1.1)

Если известны координаты начала Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и конца В( Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru )вектора, то вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru можно записать следующим образом:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru (3.1.2)

Скалярным произведением двух ненулевых векторов Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru .

Отсюда нетрудно определить угол между векторами

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru . (3.1.3)

Если векторы Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru заданы своими проекциями Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru = Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru = Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , то скалярное произведение находится по формуле:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru . (3.1.4)

Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru . (3.1.5)

Векторным произведением двух векторов называется вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , определяемый условиями:

1) вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru перпендикулярен векторам Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , т.е. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru ;

2) векторы Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru образуют правую тройку;

3) длина вектора Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru равна площади параллелограмма, построенного на векторах Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru как на сторонах, т.е.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru .

Для векторов, заданных проекциями Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru = Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru = Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , векторное произведение имеет вид:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru . (3.1.6)

Отсюда, условие коллинеарности векторов:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru . (3.1.7)

Смешанным произведением трех векторов Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru называется число, равное скалярному произведению вектора Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru на вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , т.е.:

( Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru ) Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru .

Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , как на ребрах.

Если векторы заданы проекциями Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru = Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru = Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru = Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , то смешанное произведение имеет вид:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru . (3.1.8)

Условие компланарности (принадлежности трех векторов одной плоскости или параллельности плоскостям), имеет вид:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru . (3.1.9)

Знание векторной алгебры во многом упрощает решение задач по аналитической геометрии в пространстве.

Так, уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М( Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru ), перпендикулярно вектору Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru имеет вид:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru . (3.1.10)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки: А( Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru ), В( Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru ), и С( Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru ), имеет вид:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru (3.1.11)

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , (3.1.12)

где ( Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru )-точка, через которую проходит прямая; Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru -проекции направляющего вектора прямой.

Уравнения прямой, проходящей через две точки, определяются так:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru . (3.1.13)

Если прямая вида (3.1.12) перпендикулярна плоскости, заданной общим уравнением: Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , то выполняется условие:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru . (3.1.14)

Рассмотрим несколько примеров применения изложенных выше теоретических положений.

Пример 6.

Записать вектор Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru в системе орт и найти его модуль, если А(1, 2, 3);

В(0, 1, 5).

Решение.

Используя формулу (3.1.2) получим:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru =(0-1) Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru = Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru .

Используя формулу (3.1.1), найдем модуль этого вектора:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru (ед.дл.)

Пример 7.

Найти угол между векторами Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru .

Решение.

Используя формулу (3.1.3), получим:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru ,

что соответствует углу Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru .

Пример 8.

Найти площадь треугольника, образованного двумя векторами Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , выходящими из одной точки.

Решение.

Площадь треугольника, построенного на векторах Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах как на сторонах, т.е. равна Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru модуля векторного произведения векторов Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru и Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru :

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru .

Векторное произведение найдем по формуле (3.1.6):

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

Найдем модуль полученного вектора, используя формулу (3.1.1):

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

Тогда искомая площадь будет:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru (кв.ед.)

Пример 9.

Найти объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru .

Решение:

Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах как на ребрах, равен

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , где Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru ,

где Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru -смешанное произведение векторов.

Величину Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru найдем по формуле (3.1.8):

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru = Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

Тогда Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru (куб.ед.).

Пример 10.

Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки А(1,2,5) и В(0,1,2).

Решение:

Подставив координаты точек А и В в уравнение (3.1.13), получим:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru ; Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru ; Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru .

Пример 11.

Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(1, 2, 3);

В(1, 1, 0) и С(2, 3, 1).

Решение:

Используя уравнение (3.1.11), получим:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

(х-1) Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru ,

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

Пример 12.

Через точку А(1, 0, 2) провести прямую, перпендикулярную плоскости Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

Решение.

Используем канонические уравнения прямой (3.1.12), подставив координаты точки А, получим:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru .

Проекции направляющего вектора прямой Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru найдем из условия перпендикулярности прямой и плоскости (3.1.14).

В нашем случае это будет: Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru , тогда будем иметь: Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru .

Вопросы для самопроверки

1. Что называется вектором?

2. Как найти проекции вектора, если известны координаты его начала и конца?

3. Что такое модуль вектора и как его найти?

4. Чему равно скалярное произведение векторов, заданных проекциями?

5. Как найти угол между векторами?

6. Чему равна площадь треугольника?

7. Чему равен объем пирамиды?

8. Напишите канонические уравнения прямой.

9. Как найти прямую, проходящую через две точки?

10. Как найти уравнение плоскости, проходящей через три точки?

11. Сформулируйте условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Варианты индивидуальных заданий

Задание №1

Решить систему уравнений методами Крамера и Гаусса. Сделать проверку полученного решения.

1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

3. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru 4. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

5. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru 6. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

7. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru 8. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

9. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru 10. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

11. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru 12. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

13. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru 14. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

15. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru 16. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

17. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru 18. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

19. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru 20. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru

Задание №2

Даны координаты вершин треугольника АВС.

Найти:

1)длину стороны АВ;

2)уравнение стороны АВ ё ее угловой коэффициент;

3)уравнение и длину высоты СД;

4)уравнение медианы АЕ;

5)уравнение прямой, проведенной через точку Е, параллельно стороне АВ;

6)сделать чертеж.

1. А(-5;0), В(7;9), С(5;-5). 11. А(-5;2), В(7;-7), С(5;7).

2. А(-7;2),В(5;11),С(3;-3). 12. А(-7;5), В(5;-4), С(3;10).

3. А(-5;-3), В(7;6), С(5;-8). 13. А(-7;1), В(5;-8), С(3;10).

4. А(-6;-2), В(6;7), С(4;-7). 14. А(0;3), В(12;-6), С(10;8).

5. А(-8;-4), В(4;5), С(2;-9). 15. А(-8;4), В(4;-5), С(2;9).

6. А(0;-1), В(12;8), С(10;-6). 16. А(-2;2), В(10;-7), С(8;7).

7. А(-6;1), В(6;10), С(4;-4). 17. А(1;2), В(13;-7), С(11;7).

8. А(-2;-4), В(10;5), С(8;-9). 18. А(-4;1), В(8;-8), С(6;6).

9. А(-3;0), В(9;9), С(7;-5). 19. А(-7;-1), В(5;-10), С(3;4).

10. А(-9;-2), В(3;7), С(1;-7). 20. А(-3;3), В(9;-6), С(7;8).

Задание №3

Даны координаты вершин пирамиды АВСД.

Найти:

1) векторы Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru в системе орт и их модули;

2) угол между векторами Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве - student2.ru ;

3) площадь грани АВС;

4) объем пирамиды АВСД;

5) уравнение ребра АВ;

6) уравнение плоскости АВС;

7) уравнение высоты, опущенной из точки Д на плоскость АВС.

1. А(1;2;1), В(-1;5;1), С(-1;2;7), D(1;5;9).

2. А(2;3;2), В(0;6;2), С(0;3;8), D(2;6;10).

3. А(0;3;2), В(-2;6;2), С(-2;3;8), D(0;6;10).

4. А(2;1;2), В(0;4;2), С(0;1;8), D(2;4;10).

5. А(2;3;0), В(0;6;0), С(0;3;6), D(2;6;8).

6. А(2;2;1), В(0;5;1), С(0;2;7), D(2;5;9).

7. А(1;3;1), В(-1;6;1), С(-1;3;7), D(1;6;9).

8. А(1;2;2), В(-1;5;2), С(-1;2;8), D(1;5;10).

9. А(2;3;1), В(0;6;1), С(0;3;7), D(2;6;9).

10. А(2;2;2), В(0;5;2), С(0;2;8), D(2;5;10).

11. А(1;3;2), В(-1;6;2), С(-1;3;8), D(1;6;10).

12. А(0;1;2), В(-2;4;2), С(-2;1;8), D(0;4;10).

13. А(0;3;0), В(-2;6;0), С(-2;3;6), D(0;6;8).

14. А(2;1;0), В(0;4;0), С(0;1;6), D(2;4;8).

15. А(0;2;1), В(-2;5;1), С(-2;2;7), D(0;5;9).

16. А(1;1;1), В(-1;4;1), С(-1;1;7), D(1;4;9).

17. А(1;2;0), В(-1;5;0), С(-1;2;6), D(1;5;8).

18. А(0;1;0), В(-2;4;0), С(-2;1;6), D(0;4;8).

19. А(0;1;1), В(-2;4;1), С(-2;1;7), D(0;5;9).

20. А(0;2;0), В(-2;5;0), С(-2;2;6), D(0;5;8).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Письменный Д. Т.

Конспект лекций по высшей математике : полный курс / Д. Т. Письменный . - 9-е изд. - М.: Айрис-Пресс, 2008. – 280с.- Ч. 1.

2. Пискунов Н. С.

Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов / Н. С. Пискунов. - изд. стер.. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 415 с. Т.1.

3. Шипачев В.С.

Курс высшей математики: учебник для вузов / В.С.Шипачев; Под редакцией А.Н. Тихонова. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство Оникс, 2007 – 600с.: ил.

4. Берман Г. Н.

Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г. Н. Берман. - 22-е изд., перераб. - СПб.: Профессия, 2006 - 432 с.

5. Лунгу К.Н.

Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие / К.Н.Лунгу и др.- 7-е изд..- М.: Айрис Пресс, 2008.- 574 с.

6. Шипачев В. С.

Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. - 8-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2008. - 304 с.: ил.

7. Данко П. Е.

Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова . - 6-е изд..-М.: ОНИКС.- 2008 .-368 с.- Ч.1.

Наши рекомендации