Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Минимум задач по курсу высшей математики.

Комплексные числа и действия над ними

1. Найдите , , , если , , .

2. Число запишите в показательной и тригонометрической формах.

3. Найдите , .

4. Решите уравнения а) ; б) ; в) .

Линейная алгебра

1. Даны матрицы , . Найдите матрицы и , .

2. Найдите , если а) , б) .

3. Решите матричные уравнения , , , .

4. Найдите ранг матрицы .

Превратите данный базис в ортогональный , ,

5. Найдите общее решение системы

6. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений

7. Найдите те значения параметра при которых система

имеет нетривиальные решения и найдите одно из них.

8. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора заданного матрицей , , , .

Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Найдите ядро линейного оператора

Найдите область значений линейного оператора

Найдите инвариантные подпространства линейного оператора

9. Приведите квадратичную форму к главным осям и найдите соответствующее преобразование координат.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1. Докажите, что векторы и можно принять в качестве векторов базиса на плоскости. Найдите координаты вектора относительно этого базиса. Запишите соответствующее преобразование координат.

2. Докажите, что векторы , , можно принять в качестве векторов базиса в пространстве. Найдите координаты вектора относительно этого базиса. Запишите соответствующее преобразование координат.

3. Даны три точки , , . Найдите длину проведённой из вершины высоты треугольника .

4. Найдите проекцию вектора на ось, определяемую вектором .

5. Пусть , . Найдите и , если , и угол между векторами и равен .

6. Докажите, что векторы , , компланарны (лежат в одной плоскости).

7.Найдите косинус угла между векторами , .

8. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

9. Запишите уравнение прямой а) проходящей через точку перпендикулярно вектору , б) проходящей через точку параллельно вектору , в) проходящей через точки .

10. Запишите уравнение прямой проходящей через точку а) перпендикулярно прямой , б) параллельно прямой .

11. Запишите уравнение плоскости а) проходящей через точку перпендикулярно вектору , б) проходящей через точку параллельно векторам , , в) проходящей через точки .

12. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

13. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

14. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

15. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

16. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

17. Постройте кривую в исходной системе координат, приведя предварительно её уравнение к главным осям.