Линейные нормированные пространства

Определение. Линейным пространством называется всякое множество V произвольных элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения и умножения на действительные числа, т.е. для любых двух векторов и из V определен вектор , называемый суммой векторов и и обозначаемый + а для любого вектора и любого действительного числа определен вектор , называемый произведением вектора на число следующие условия:

1) + = +

2) ( + )+ = +( +

3) в множестве V имеется элемент , называемый нулевым элементом, удовлетворяющий для любого условию

;

4) ко всякому вектору имеется вектор - , называемый противоположным вектору удовлетворяющий условию

.

Элементы теории множеств

Понятие множества

Множеством в математике называют совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. Понятие множества принадлежит к числу первичных простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено с помощью примеров.

Примерами множеств являются: множество точек данной линии, множество всех решений данного уравнения, множество предприятий некоторой отрасли. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами, или точками. Обычно множества обозначают прописными буквами, а входящие в них элементы – строчными. Задать множество можно перечислением его элементов или указав характеристическое свойство его элементов, т.е. такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они. Например, А= - множество, элементами которого являются числа 1, 2, 3, 4 и только они. Или А= - множество всех положительных чисел.

Если а есть элемент множества А, то это записывают так: а А.

Числовая прямая

Числовой прямой (или числовой осью) называется прямая, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и масштаб, т.е. единица длины

0 1 М x

Между множеством R всех действительных чисел и множеством всех точек числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие: каждому действительному числу соответствует одна определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – одно определенное действительное число. Установив это взаимно однозначное соответствие, мы отожествляем точки числовой прямой и соответствующие действительные числа. Понятие «число х» и «точка х» становятся неразличимыми. Поэтому часто вместе «точка х» говорят «число х» и наоборот.

Отметим наиболее употребительные числовые множества.

Пусть a и b– два числа, причем a b, тогда:

- отрезок - это множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству a х b;

- интервал ( ) – множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравенству a х b;

- полуинтервалы ( ) – числовые множества, характеризующиеся неравенствами соответственно a х b и a х b.

Интервалы и полуинтервалы могут быть, в частности, бесконечными: (- ), (b,+ ), (- ), [b,+ ). (Очевидно, интервал (- ) есть вся числовая прямая.)

Все перечисленные множества принято объединять единым термином промежуток. Говоря «промежуток», мы имеем в виду либо отрезок, либо интервал, либо полуинтервал.

Окрестностью точки называется всякий интервал, содержащий точку x.

Интервал ( , ) называется - окрестностью точки .