Методические указания для выполнения контрольной работы
ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.
Дисциплина: Элементы высшей математики
Специальность: 230115 Программирование в компьютерных системах
| № п/п | Содержание самостоятельной работы |
| 1. | Составление уравнения прямых. |
| 2. | Кривые 2 порядка: окружность, эллипс,гипербола,парабола. |
| 3. | Построение кривых 2 порядка. |
| 4. | Составление уравнений кривых 2-го порядка |
| 5. | Непрерывные функции, их свойства. Замечательные пределы. |
| 6. | Точки разрыва, их классификация. |
| 7. | Правило Лопиталя. |
| 8. | Вычисление односторонних пределов. |
| 9. | Монотонность функции. Экстремумы функций. |
| 10. | Асимптоты графика функции. |
| 11. | Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. |
| 12. | Исследование функции с помощью производной 1,2 порядков. |
| 13. | Неопределенный интеграл, его свойства, таблица основных интегралов. |
| 14. | Определённый интеграл, его свойства. |
| 15. | Вычисление площадей фигур с помощью определённого интеграла |
| 16. | Нахождение области определения функций двух переменных |
| 17. | Предел и непрерывность. Частные производные. |
| 18. | Частные производные высших порядков. |
| 19. | Двойные интегралы и их свойства. Повторные интегралы. |
| 20. | Определение обыкновенных ДУ. Общее и частное решение. Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными. |
| 21. | Однородные уравнения 1 -го порядка. Уравнения, приводящиеся к однородным. |
| 22. | Двойные интегралы и их свойства. Повторные интегралы. |
| 23. | Определение обыкновенных ДУ. Общее и частное решение. Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными. |
| 24. | Однородные уравнения 1 -го порядка. Уравнения, приводящиеся к однородным. |
| 25. | ДУ 1 -го порядка с разделяющимися переменными. Решение ОДУ 1-го порядка |
| 26. | Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. |
| 27. | Линейные неоднородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. |
| 28. | ДУ, допускающие понижение степеней |
Литература.
1. Щипачев B.C. «Высшая математика». - М.. «Высшая школа», 2008;
2. Григорьев В.П., Дубинский Ю. А. «Элементы высшей математики», М- «Академия», 2008;
3. Богомолов Н. «Практические занятия по математике». - М.. «Высшая школа», 2008;
4. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление». Т. 1,2. - М., «Наука», 2008;
5. Щипачев B.C. «Курс высшей математики», М-Проспект, 2009.
6. Кремер Н. Ш. «Высшая математика для экономических специальностей», ч. 1,2, М-2010г.
7. В. И. Ермакова «Сборник задач по высшей математике для экономистов», М- Инфра, 2010г.
Специальность: 230115 Программирование в компьютерных системах
Группа:ПКC-5208
Предмет: Элементы высшей математики
Преподаватель:Афонина надежда Евгеньевна
Правила выполнения и оформления
Контрольных работ
1. На титульном листе работы должны быть разборчиво написаны фамилия и инициалы студента, номер варианта (соответствует последней цифре в номере зачётной книжки)
2. Решения задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
3. Перед решением задачи следует выписать полностью ее условие.
4. Решение задач излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.
5. Если после проверки контрольной работы поставлена отметка "Неудовлетворительно", необходимо в этой же тетради сделать работу над ошибками и представить работу для повторной проверки. Это необходимо сделать в кратчайшие сроки.
Вариант №1.
1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса:
2. Даны вершины треугольника 
, 
Найти: а) уравнения всех трех его сторон;
в) внутренний угол 
треугольника;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
3. Найти пределы функций.
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
4. Найти производные заданных функций.
а) 
; б) 
;
5. Исследовать средствами дифференциального исчисления
функцию 
и построить ее график.
6. Найти частные производные и полный дифференциал функции 
: 
.
7.Найти общее решение дифференциального уравнения 
8. Найти неопределенные интегралы.
а) 
; б) 
.
9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) 
; б) 
Вариант № 2.
1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:
2. Даны вершины треугольника 
, 
Найти: а) уравнения всех трех его сторон;
в) внутренний угол треугольника;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
3. Найти пределы функций.
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
4. Найти производные заданных функций.
а) 
; б) 
;
5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию 
и построить ее график.
6. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
7. Найти частные производные и полный дифференциал функции :
.
8. Найти неопределенные интегралы.
а) 
; б) 
.
9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) 
; б) 
.
Вариант № 3.
1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:
2. Даны вершины треугольника ,
Найти: а) уравнения всех трех его сторон;
в) внутренний угол треугольника;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
3. Найти пределы функций.
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
4. Найти производные заданных функций.
а) 
;
б) 
.
5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию 
и построить ее график.
6. Найти частные производные и полный дифференциал функции :
7. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
8. Найти неопределенные интегралы.
а) 
; б) 
;
9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница. а) 
; б) 
Вариант № 4.
1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:
2. Даны вершины треугольника 
, 
Найти: а) уравнения всех трех его сторон;
в) внутренний угол треугольника;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
3. Найти пределы функций.
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
4. Найти производные заданных функций.
а) 
; б) 
.
5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию 
и построить ее график.
6. Найти частные производные и полный дифференциал функции :
7. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
8. Найти неопределенные интегралы.
а) 
; б) 
.
9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) 
; б) 
Вариант № 5.
1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:
2. Даны вершины треугольника 
, 
Найти: а) уравнения всех трех его сторон;
в) внутренний угол треугольника;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
3. Найти пределы функций.
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
4. Найти производные заданных функций.
а) 
; б) 
5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию 
и построить ее график.
6. Найти частные производные и полный дифференциал функции :
7. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
8. Найти неопределенные интегралы.
а) 
; б) 
.
9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) 
; б) 
.
Вариант № 6.
1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:
2. Даны вершины треугольника 
, 
Найти: а) уравнения всех трех его сторон;
в) внутренний угол треугольника;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
3. Найти пределы функций.
а) ; б) 
;
в) 
; г) 
.
4. Найти производные заданных функций.
а) 
;
б) 
.
5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию 
и построить ее график.
6. Найти частные производные и полный дифференциал функции :
7. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
8. Найти неопределенные интегралы.
а) 
; б) 
.
9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) 
; б) 
.
Вариант № 7.
1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:
2. Даны вершины треугольника 
, 
Найти: а) уравнения всех трех его сторон;
в) внутренний угол треугольника;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
3. Найти пределы функций.
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
4. Найти производные заданных функций.
а) 
б) 
.
5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию 
и построить ее график.
6. Найти частные производные и полный дифференциал функции :
7.Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
8. Найти неопределенные интегралы.
а) 
; б) 
.
9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) 
; б) 
.
Вариант № 8.
1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:
2. Даны вершины треугольника 
, 
Найти: а) уравнения всех трех его сторон;
в) внутренний угол треугольника;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
3. Найти пределы функций.
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
4. Найти производные заданных функций.
а) 
;
б) 
.
5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию 
и построить ее график.
6. Найти частные производные и полный дифференциал функции:
7. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
8. Найти неопределенные интегралы.
а) 
; б) 
.
9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) ; б) .
Вариант № 9.
1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:
2. Даны вершины треугольника 
, 
Найти: а) уравнения всех трех его сторон;
в) внутренний угол треугольника;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
3. Найти пределы функций.
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
.
4. Найти производные заданных функций.
а) 
;
б) 
.
5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию 
и построить ее график.
6. Найти частные производные и полный дифференциал функции 
.
7.Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
8. Найти неопределенные интегралы.
а) 
; б) 
.
9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) 
; б) 
Вариант № 0.
1. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:
2. Даны вершины треугольника 
,
Найти: а) уравнения всех трех его сторон;
в) внутренний угол треугольника;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
3. Найти пределы функций.
а) ; б) ; в) ;
г) .
4. Найти производные заданных функций.
а) ; б) .
5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.
6. Найти частные производные и полный дифференциал функции
:
7. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
8. Найти неопределенные интегралы.
а) ; б) ;
9. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-
Лейбница.
а) ; б) .
Методические указания для выполнения контрольной работы.
1.Решите систему 
методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.
Решение.
Вычислим определитель матрицы 
.
Так как определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.
1) Метод Крамера: 
.
.
2) Метод обратной матрицы:
.
3) Метод Гаусса:
Вывод.Сравнивая результаты во всех трёх случаях, видим, что решения совпадают: .
2. Даны вершины треугольника А(-3;-2), В(1;8), С(5;3).
Найти: а) уравнения всех трех его сторон;
в) внутренний угол А треугольника;
г) длину высоты, опущенной из вершины А;
д) площадь треугольника.
Решение.
а)Уравнения сторон найдем по формуле прямой, проходящей через две данные точки 
Уравнение стороны АВ: 
, или 
(АВ).
Уравнение стороны АС: 
или 
(АС)
в)Внутренний угол треугольника найдем, зная угловые коэффициенты сторон АВ и АС, образующих этот угол, по формуле 
.
Угловые коэффициенты прямых выложим по формуле 
.
Получим 
; 
.
Тогда 
. Угол определяем с помощью таблицы тангенсов или калькулятора
г)Длину высоты AD^BC найдем как расстояние от данной точки
А(-3;-2) до данной прямой ВС: 5х + 4у – 37 = 0 по формуле
, где А, В, С – коэффициенты прямой, 
- координаты данной точки.
Получим 
(мин. ед.)
д)Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами.
Вычислить ее через координаты вершин треугольника по формуле 
.
Получим 
.
Итак, площадь треугольника SABC = 30 кв. ед.
3. Найти пределы функций.
а) 
.
Здесь также непосредственно теорему о пределе дроби применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби при 
не имеют конечных пределов. Это неопределенность вида 
. Для раскрытия ее разделим числитель и знаменатель на х в высшей степени, т.е. на 
,изатем перейдем к пределу.
.
Здесь 
- бесконечно малые функции при 
, и поэтомуих пределы равны нулю.
б) 
.
Имеем неопределенность вида 
. Для раскрытия этой неопределенности преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. Для значения 
имеем тождество
.
Поэтому пределы этих функций равны между собой:
.
в) Найти 
.
Непосредственная подстановка 
приводит к неопределенности вида . Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, выделим множитель 
в числителе и в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные, соответственно, числителю и знаменателю:
.
Тогда
..
4. 
.
Здесь имеем неопределенность вида 
. Для раскрытия этой неопределенности преобразуем функцию так, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом.
.
Введем новую переменную. Пусть 
, тогда 
, при , 
. Следовательно:
.
5. Найти производные заданных функций.
а) 
.
Преобразуем функцию: 
. Тогда
.
Б) 
Находим производную сложной функции:
.
5. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию 
и построить ее график.
1) Функция определена при всех значениях х, кроме х=2, т.е.
2) Четность. 
. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Функция не периодическая.
4) Найдем точки пересечения графика с осями координат.
Очевидно, если х=0, то у=0, и если у=0, то х=0. Следовательно, график функции проходит через начало координат.
5) Функция непрерывна в области своего определения.
Поскольку 
и 
, то точка х=2является точкой разрыва второго рода. Исследуем поведение функции на бесконечности.
.
6) Найдем ассимптоты графика функции. Известно, что если 
, то прямая 
является вертикальной асимптотой графика функции. Если 
и 
, то прямая 
является наклонной асимптотой графика функции 
. Поскольку и , то прямая х=2 является вертикальной асимптотой графика функции.
Найдем
; т.е. k=1.
, т.е. 
.
Следовательно, прямая 
является наклонной асимптотой графика функции.
2. 
.
Найдем промежутки монотонности функции и точки экстремума. Для этого определим 
. Производная обращается в ноль при х=0 и 4, апри х=2 не существует.
+ - - +
0 2 4 X
При 
, следовательно, на этом интервале функция возрастает.
При 
функция на этом интервале убывает. Следовательно, х=0является точкой максимума.
.
При 
- убывает.
При 
- возрастает.
Следовательно, при х =4 функция имеет минимум:
.
3. 
.
Определимпромежутки выпуклости и вогнутости графика функции. Для этого найдем вторую производную: 
.
Вторая производная 
на области определения и не существует при х=2. Исследуем знак второй производной.
- +
Ç 2 È X
При 
, следовательно, вэтом интервале график функции выпуклый.
При 
график функции вогнутый. Точек перегиба график функциине имеет.
4. График: 
Y
-2 0 2 X
6. Найти частные производные и полный дифференциал функции : 
Решение
Найдём частные производные 
; 
. Составим полный дифференциал по формуле 
.
Получим 
.
7.Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение.
Это уравнение первого порядка является линейным, так как это удовлетворяет общему виду линейных уравнений 
. Будем искать решение в виде 
, где 
, 
- дифференцируемые функции от 
. Тогда 
. Подставляя 
, в данное уравнение, получим
или 
. 