Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru некоторой области Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Рассечем поверхность S, изображающую функцию z, плоскостями x= Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru и y= Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Плоскость x= Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru пересекает поверхность S по некоторой линии Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru , уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z=f(x,y) вместо х числа Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Точка Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru принадлежит кривой Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . В силу дифференцируемости функции z в точке Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru функция Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru также является дифференцируемой в точке y= Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Следовательно, в этой точке в плоскости x= Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru к кривой Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru может быть проведена касательная Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Построим касательную Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru к кривой Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru в точке x= Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Прямые Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru и Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru определяют плоскость Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Составим ее уравнение. Так как плоскость Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru проходит через точку Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru , то ее уравнение может быть записано в виде А( Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru ) + В( Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru ) + С( Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru )=0, которое можно переписать так: Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru (разделив уравнение на –С и обозначив А/-С= Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru , В/-С= Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru ). Найдем Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru и Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Уравнения касательных имеют вид: Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru ; Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru соответственно. Касательная Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru лежит в плоскости Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . В итоге Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Следовательно, Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Искомое уравнение касательной плоскости: Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Прямая, проходящая через точку Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью. Каноническое уравнение нормали: Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru .

Экстремум ф-ции нескольких переменных. Теорема(необходимые условия экстремума): Если в точке N( Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru , Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru ) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Док-во: Зафиксируем одну из переменных. Положим, y= Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Тогда получим ф-цию Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru одной переменной, которая имеет экстремум при x- Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной, Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru , т.е. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Замеч.: ф-ция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Точка, в которой частные производные первого порядка функции z=f(x,y) равны нулю, т.е. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru , называется стационарной точкой функции z. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Теорема(достаточное условие экстремума): Пусть в стационарной точке Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru и некоторой ее окрестности функция F(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru значения Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru обозначим Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru . Тогда: 1.Если Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru , то функция f(x,y) в точке Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru имеет экстремум: максимум, если A<0, минимум, если A>0; 2.Если Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru , то функция f(x,y) в точке Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru экстремума не имеет. В случае Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru экстремум в точке Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных. - student2.ru может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.


Наши рекомендации