Метод простой итерации

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

(практикум)

Алгоритмы вычислительной математики

для слушателей курсов

по переподготовке и повышению квалификации

Минск 2009

УДК 621.3.6

А.Г.Корбит, Т.М.Кривоносова. . Практикум по курсу “Алгоритмы вычислительной математики”: Методическое пособие для слушателей курсов по переподготовке и повышению квалификации

Мн.: ИИТ БГУИР, 2009.- 35 с.

Общий курс “Вычислительная математика” содержит ряд разделов. Данное пособие посвящено изучению раздела курса “Основы численных методов”. В нём студентам предлагается выполнить пять индивидуальных заданий, охватывающих основные, хорошо изученные задачи. Предполагается также получить навыки программной реализации методов сортировки и ознакомиться с современными алгоритмами обработки нелинейных структур данных.

Составители: Корбит А.Г., Кривоносова Т.М.

ÓИИТ БГУИР, 2009

СОДЕРЖАНИЕ

ЗАДАНИЕ 1 Численное решение алгебраических уравнений
ЗАДАНИЕ 2. Аппроксимация функций
ЗАДАНИЕ 3. Алгоритмы численного интегрирования
ЗАДАНИЕ 4. Сортировка данных и поиск
ЗАДАНИЕ 5. Деревья, «ПОЛИЗ», Хеширование
ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ПРИЛОЖЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

З А Д А Н И Е 1. Численное решение алгебраических уравнений

Цель работы: изучить численные методы решения алгебраических уравнений при помощи итерационных методов. Научиться программировать итерационные алгоритмы решения алгебраических уравнений с заданной точностью.

Краткие теоретические сведения

Пусть дана некоторая функциональная зависимость y=f(x) на заданном отрезке [a,b]. Решение уравнения y=f(x) заключается в поиске таких значений x^*, при которых функция f(x) обращается в ноль, т.е. решение уравнения:

f(x^*)=0. (1.1)

Но точное решение удается получить только в исключительных случаях, и обычно для нахождения корней уравнения применяются численные методы.

Решение уравнения (1.1) при этом осуществляется в два этапа:

1. Приближенное определение местоположения корней - этап отделения корней (нахождение грубых корней).

2. Вычисление выбранного корня с заданной точностью e. Это, как правило, итерационные методы.

Первая задача чаще всего решается графическим методом: на заданном отрезке [a, b] вычисляется таблица значений функции с некоторым шагом h, строится ее график и определяются интервалы длиной h, на которых находятся корни.

Вычисление значения простого корня с заданной точностью осуществляется одним из итерационных методов.

Метод простой итерации

Уравнение (2.1) записывают в виде разрешенном, относительно x:

. (1.2)

Заметим, что переход от записи уравнения (1.1) к эквивалентной записи (1.2) можно сделать многими способами, например, положив

, (1.3)

где - произвольная, непрерывная, знакопостоянная функция. Часто достаточно выбрать функцию как константу y=const из диапазона ±0.1 - 0.9 .

В этом случае корни уравнения (1.2) являются также корнями (1.1), и наоборот.

Исходя из записи (1.2) члены рекуррентной последовательности в методе простой итерации вычисляются по закону

. (1.4)

Метод является одношаговым, так как последовательность x₀, x₁, …, x_к имеет первый порядок (m=1) и для начала вычислений достаточно знать одно начальное приближение или или .

Условием сходимости метода простой итерации: если дифференцируема и выполнение неравенства для любого . (1.5)

Максимальный интервал (a, b), для которого выполняется неравенство (1.5), называется областью сходимости.

Рис. 1.1.

Схема алгоритма метода простой итерации представлена на рис. 1.1.