Теорема гаусса-остроградского

Рассмотрим поле какого-либо вектора теорема гаусса-остроградского - student2.ru , определенного в каждой точке своего поля. Линиями этого вектора называются линии, касательные к которым совпадают с вектором теорема гаусса-остроградского - student2.ru в каждой точке. Линии приписывают направление, совпадающее с направлением вектора. Условимся проводить через каждую единичную площадку, перпендикулярную линиям теорема гаусса-остроградского - student2.ru , количество линий, равное значению этого вектора в данной точке. Если поле неоднородно, выбирают элементарную площадку dS0, перпендикулярную линиям, настолько малой, чтобы во всех ее точках вектор теорема гаусса-остроградского - student2.ru можно было считать одинаковым (в пределе – бесконечно малой): теорема гаусса-остроградского - student2.ru , где dN – число линии, проведенных через нормальную площадку dS0. Потоком линий вектора теорема гаусса-остроградского - student2.ru через произвольную поверхность S называется число линий вектора, проходящих сквозь эту поверхность (если они проведены по сформулированному выше правилу). Элементарный поток теорема гаусса-остроградского - student2.ru . Выберем элементарную площадку dS, не перпендикулярную линиям вектора теорема гаусса-остроградского - student2.ru , так, чтобы ее пронизывал тот же элементарный поток теорема гаусса-остроградского - student2.ru . Из рис.19 теорема гаусса-остроградского - student2.ru . Следовательно, теорема гаусса-остроградского - student2.ru . Введем новый вектор теорема гаусса-остроградского - student2.ru , где теорема гаусса-остроградского - student2.ru – единичный вектор нормали к площадке dS. Тогда

теорема гаусса-остроградского - student2.ru теорема гаусса-остроградского - student2.ru ,

так как a – угол между теорема гаусса-остроградского - student2.ru и теорема гаусса-остроградского - student2.ru (см. рис.19). Поток линий вектора теорема гаусса-остроградского - student2.ru через конечную поверхность S

теорема гаусса-остроградского - student2.ru .

Поток через замкнутую поверхность или полный поток линий вектора теорема гаусса-остроградского - student2.ru

теорема гаусса-остроградского - student2.ru .

В векторе теорема гаусса-остроградского - student2.ru использован единичный вектор внешней нормали. Таким образом, полный поток – алгебраическая величина. Выходящие из замкнутой поверхности линии считаются со знаком плюс ( теорема гаусса-остроградского - student2.ru ), входящие – со знаком минус ( теорема гаусса-остроградского - student2.ru ).

Аналогично линиям напряженности электрического поля вводятся линии вектора смещения.

Поток этих линий через произвольную площадку S

теорема гаусса-остроградского - student2.ru .

Сосчитаем полный поток линий вектора смещения через замкнутую сферическую поверхность, в центре которой расположен точечный заряд Q0, создающий поле (рис.20):

теорема гаусса-остроградского - student2.ru .

Как видим, полный поток линий вектора смещения не зависит от формы поверхности и от того, где внутри нее расположен заряд (рис.21).

теорема гаусса-остроградского - student2.ru Линии вектора теорема гаусса-остроградского - student2.ru пересекают поверхность S нечетное число раз, причем, кроме одного, с попарно противоположными знаками (входят, выходят). Поэтому в поток линий вектора теорема гаусса-остроградского - student2.ru каждая линия войдет один раз со знаком, определяемым ее направлением. Значит, полный поток вектора смещения через любую замкнутую поверхность, охватывающую создающий поле заряд, равен этому заряду: теорема гаусса-остроградского - student2.ru .

Здесь теорема гаусса-остроградского - student2.ru – вектор смещения на элементе поверхности dS (рис.21). Пусть теперь поле создано n зарядами (рис.22). Для каждого из зарядов Q0, попавших внутрь мысленной поверхности S, можно написать теорема гаусса-остроградского - student2.ru , где теорема гаусса-остроградского - student2.ru – вектор смещения поля i-го заряда в точках dS. Для каждого из зарядов, не попавших внутрь этой поверхности (рис.23), теорема гаусса-остроградского - student2.ru (четное число пересечений линий теорема гаусса-остроградского - student2.ru с поверхностью). Суммируя все такие уравнения почленно, имеем:

теорема гаусса-остроградского - student2.ru .

гдеk – число зарядов, охваченных поверхностью S. Иначе теорема гаусса-остроградского - student2.ru .

Вынесем общий для всех членов суммы элемент dS за знак суммирования: теорема гаусса-остроградского - student2.ru . Здесь все векторы теорема гаусса-остроградского - student2.ru относятся к одному элементу поверхности dS. По принципу суперпозиции полей вектор смещения результирующего поля теорема гаусса-остроградского - student2.ru , где n – число всех зарядов, создающих поле в данной точке (а не только охваченных поверхностью). Получаем теорему Гаусса – Остроградского

теорема гаусса-остроградского - student2.ru или теорема гаусса-остроградского - student2.ru .

Полный поток линий вектора смещения через любую (замкнутую) поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью.

теорема гаусса-остроградского - student2.ru Если в поле можно выбрать какую-либо замкнутую поверхность, через которую не равен нулю поток линий соответствующего вектора, эти линии не замкнуты. То, что такую замкнутую поверхность можно выбрать сколь угодно близкой к заряду (и охватывающей его), доказывает, что точки, в которых находятся заряды, – особые точки поля (вспомним, что для этих точек теряют смысл все характеристики поля: теорема гаусса-остроградского - student2.ru ; теорема гаусса-остроградского - student2.ru ; j и т.д.), заряды — его источники, как и предполагалось ранее. Линии напряженности электростатического поля и линии вектора смещения начинаются и заканчиваются на зарядах (или в бесконечности).

Теорема Гаусса – Остроградского во многих случаях позволяет рассчитать вектор смещения в данной точке электрического поля. Для этого надо мысленную поверхность S провести через точку, в которой определяется вектор теорема гаусса-остроградского - student2.ru . Поверхность выбирается так, чтобы, по воз­можности, проще разрешалось уравнение относительно искомого вектора теорема гаусса-остроградского - student2.ru , лучше всего, если на всей поверхности или на конечном числе ее частей вектор теорема гаусса-остроградского - student2.ru постоянен и составляет постоянный угол с нормалью к поверхности. В тех случаях, когда применение теоремы не встречает непреодолимых математических трудностей, рассчитывают вектор теорема гаусса-остроградского - student2.ru , вектор теорема гаусса-остроградского - student2.ru , затем потенциал, т.е. сравнительно просто получают важнейшие характеристики данной точки электростатического поля.

Например, для бесконечной равномерно заряженной плоскости теорема гаусса-остроградского - student2.ru , где теорема гаусса-остроградского - student2.ru – поверхностная плотность зарядов. Для поля плоского конденсатора теорема гаусса-остроградского - student2.ru .

Наши рекомендации