Производная и дифференциал 1 страница
Действительные числа
1. Действительные числа и их свойства. Принцип Архимеда.
2. Множество действительных чисел как метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества в нем.
Леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел:
3. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора).
4. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля - Лебега).
5. Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса).
6. Г рани числовых множеств. Теорема существования точных граней.
Предел
7. Предел последовательности. Общие свойства предела.
8. Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенствах.
9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства.
10. Критерий сходимости монотонной последовательности. Число е.
11. Подпоследовательности. Теорема Больцано- Вейерштрасса.
12. Верхний и нижний пределы последовательностей.
13. Критерий Коши сходимости последовательностей.
14. Предел функции. Эквивалентность определений Гейне и Коши.
15. Свойства предела функции. Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход и неравенства.
16. Предел сложной функции.
17. Предел по базе. Односторонние пределы, пределы на бесконечности.
18. Критерий Коши существования предела функции.
19. Замечательные пределы.
20. Существование предела монотонной функции.
21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение асимптотического поведения функций. «О-о» символика.
Непрерывность
22. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация.
23. Непрерывность сложной функции. Арифметические свойства непрерывных функций.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
24. Теорема Вейерштрасса.
25. Теорема Кольцано - Коши.
26. Критерий непрерывности монотонной функции.
27. Теорема об обратной функции.
28. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
29. Непрерывность основных элементарных функций.
Производная и дифференциал
30. Производная функции. Связь между существованием производной и непрерывностью.
31. Дифференциал. Необходимые и достаточные условия диффсрснцируемости.
32. Инвариантность формы первого дифференциала.
33. Правила дифференцирования.
34. Производная сложной функции.
35. Производная обратной функции.
36. геометрический смысл производной и дифференциала.
37. Производные основных элементарных функций.
38. Производные высших порядков. Правила вычисления, формула Лейбница.
39. Производные высших порядков от сложных и обратных функций.
40. Дифференцирование параметрически заданных функций.
41. Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы. Теоремы о среднем:
42. Теорема Ферма.
43. Теорема Ролля.
44. Формула конечных приращений Лагранжа.
45. Теорема Коши.
46. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности 0/0.
47. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности 8/8.
48. Локальная формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано.
49. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши.
50. Основные разложения по формуле Тейлора.
Применение дифференциального исчисления к задачам исследования поведения функций:
51. Условия монотонности функций.
52. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
53. Достаточное условие экстремума, использующее первую производную.
54. Достаточное условие экстремума, использующее высшие производные.
55. Условия выпуклости и наличия точки перегиба графика функции.
56. Вертикальные и наклонные асимптоты.
17. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности. (Гейне): Функция f имеет в точке x0 предел слева (справа), если существует такое число  , что для произвольной последовательности (xn) значений x, a < xn < x0 (x0 < xn < b), сходящейся к точке x0 при n → ∞, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции f сходится к точке A. (Коши): Функция f имеет в точке x0 предел слева (справа), если      Число A называем пределом слева (справа) функции f в точке x0 и обозначаем f(x0 - 0) (f(x0 + 0)) или    . Функция f имеет предел в точке x0 тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равные между собой пределы слева и справа. Предел функции на бесконечности в математическом анализе описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим по модулю. Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Запись этого факта:  Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа e < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Записывается это так:  | 18. Критерий Коши существования предела функции. Условие Коши. Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию 0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d, справедливо неравенство |f(x1-f(x2)|<e. Критерий Коши. Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a (limx ->af(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши. Доказательство Необходимость. Пусть  и  . Это означает, что для любого > 0 существует такое > 0, что для всех точек  справедливо неравенство  . Достаточность  . Теорема об эквивалентности двух определений предела:  (Определение предела по Гейне-Борелю). Применяем критерий Коши для последовательности. Докажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности  . Для этого рассмотрим другую извлеченную последовательность  , тоже сходящуюся к a. Соответствующая ей последовательность  сходится к пределу B. Для доказательства, что A=B, допустим противное. Рассмотрим последовательность:  , сходящуюся к a. Последовательность значений функции  не имеет предела, т.к. ее четные и нечетные члены сходятся к разным пределам A и B соответственно. Таким образом, получилось противоречие. | 19. Замечательные пределы. Первый замечательный предел  Доказательство  Рассмотрим односторонние пределы  и  и докажем, что они равны 1. Пусть  . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1). Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что:  (1) (где SsectOKA — площадь сектора OKA)    (из  : | LA | = tgx) Подставляя в (1), получим:   Так как при:  Умножаем на sinx:  Перейдём к пределу:    Найдём левый односторонний предел:  Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1 Второй замечательный предел  . Доказательство Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x → ∞. По свойству для неравенств имеем  . Прибавим ко всем частям неравенств единицу  . По свойству степеней имеем  Так как  и  , то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и , что и требовалось доказать. Для отрицательного х доказательство аналогично. | |||
20. Существование предела монотонной функции. Функция  называется - монотонно возрастающей, если из  -строго монотонно возрастающей, если из  - монотонно убывающей, если из  -строго монотонно убывающей, если из  . Если же для любых точек x1ÎX и x2ÎX, x1 < x2, выполняется неравенство f(x1)£f(x2) (соответственно неравенство f(x1) ³ f(x2)), то функцию называют неубывающей (невозрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) – но в широком смысле. Возрастающие и убывающие на множестве X функции называются монотонными на этом множестве. Теорема. Пусть функция  – неубывающая на (a, b), где, в частности, может быть  . Если она ограничена сверху числом M, то существует конечный предел  . Если же она не ограничена сверху, то  . Аналогично, если функция f ограничена снизу, то в точке a у неё существует конечный предел справа, а если f не ограничена снизу, то  . Подобные утверждения справедливы и для убывающих функций; их можно получить, перейдя от функции f к функции –f. Доказательство. Из ограниченности f следует существование конечной точной верхней грани  . Таким образом,  , и для всякого e > 0 существует  такое, что  . Но в силу того, что f не убывает,  . Таким образом, для любого e>0 можно указать  такое, что  для всех x, удовлетворяющих неравенствам  . Это и значит, что  . Пусть теперь неубывающая функция f не ограничена сверху. Тогда для любого M существует такое, что M < f(x1), и вследствие того, что f не убывает на X,  , а это и говорит о том, что . | 21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение асимптотического поведения функций. «О-о» символика. Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если  или  , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Примеры. Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как  Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞. Если для любой последовательности  значений аргумента соответствующая последовательность значений функции  бесконечно большая, то функция  называется бесконечно большой в точке  . «O» большое и «o» малое (O и o) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что: f является «O» большим от g при  , если существует такая константа C > 0, что для всех x из некоторой окрестности точки x0 имеет место неравенство  ; f является «о» малым от g при , если для любого ε > 0 найдется такая проколотая окрестность  точки x0, что для всех  имеет место неравенство  Иначе говоря, в первом случае отношение | f | / | g | в окрестности точки x0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при . Сравнение асимптотического поведения функций Определение. Говорят, что функция  есть бесконечно малая по сравнению с функцией  при  и пишут  , если  , где  - бесконечно малая функция при  . Замечание. Если функция  в  , то последнее определение можно записать как  Определение. Говорят, что функции  и  эквивалентны при  и пишут  , если  , где  - бесконечно малая функция при  . Замечание. Если  в некоторой  ,  | 22. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация. Определение 1: Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если  . Определение 2: f(x) называется непрерывной в точке а, если " e > 0 $ d > 0: | f(x) - f(а) | < e при | х - а | < d. f(x) = f(а) Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx0, если выполнены 3 условия: 1-она определена в точке x0 и в некоторой её окрестности; 2-имеет предел при x → x0; 3-этот предел равен значению функции в точке x0. Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва. Классификация точек разрыва: 1)  - устранимая т.р.  и они конечны, но  . 2) - т.р. 1-го рода:  - конечны, но  . К примеру,  (рис. 8.3). 3) - т.р. 2-го рода: все остальные т.р., например, точки бесконечного разрыва. В частности,  | |||
23. Непрерывность сложной функции. Арифметические свойства непрерывных функций. Пусть аргумент t функции y = f(t) является функцией аргумента x: t = j(x). В этом случае говорят, что переменная у является сложной функцией от аргумента х или у является суперпозицией функций f и j. y = f(j (x)). Пример: y = sin(  ) - сложная функция. y = sin t, где t = . Если f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то f(x) ± g(x), f(x)×g(x) и  (при условии g(а) ¹ 0) непрерывны в точке а. Доказательство: По условию  f(x) = f(а), g(x) = g(а) Þ [ f(x) + g(x)] = f(a) + g(а). а это и означает непрерывность суммы функций в точке а. Точно также доказывается непрерывность разности, произведения, частного. Теорема доказана. | 24. Теорема Вейерштрасса. Первая теорема Вейерштрасса. Пусть  . Тогда  ограничена на  . Доказательство: Докажем, что   . Предположим противное, то есть    . Возьмем  =1,2,3… Получим  : 1)    2)  Из этих определений получаем   . =>  -подпоследовательность последовательности :  .  -непрерывна в точке  =>  . -подпоследовательность последовательности :  =>  . Противоречие. Вторая теорема Вейерштрасса. Пусть  . Тогда  Замечание: Непрерывная на отрезке  функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу. Доказательство: По условию теоремы =>  ограничена на  =>  Докажем, что  . Предположим противное, то есть   . Рассмотрим вспомогательную функцию  на . По 1 теореме Вейерштрасса  ограничена на , то есть     (<  )- верхняя граница.  , то есть   . Противоречие. | 25. Теорема Больцано-Коши. Пусть дана непрерывная функция на отрезке  Пусть также  и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого  существует  такое, что f(c) = C. Доказательство Рассмотрим функцию  Она непрерывна на отрезке  и  ,  Покажем, что существует такая точка , что  Разделим отрезок точкой  на два равных по длине отрезка, тогда либо  и нужная точка  найдена, либо  и тогда на концах одного из полученных промежутков функция  принимает значения разных знаков(на левом конце меньше нуля, на правом больше). Обозначив полученный отрезок  , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке  , либо получим последовательность вложенных отрезков  по длине стремящихся к нулю и таких, что  Пусть - общая точка всех отрезков ,  Тогда c = lim an = lim bn, и в силу непрерывности функции  g(c) = lim g(an) = lim g(bn). Поскольку  получим, что | |||
26. Критерий непрерывности монотонной функции. Для того, чтобы монотонная функция f(x) определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)] либо [f(b), f(a)]). Доказательство. Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют:  для "x0Î(a,b], и  для "x0Î[a,b). Доказательство леммы. Положим для некоторого x0Î(a,b], A=  , тогда для "xÎ[a,x0) :f(x)£A и для "e>0$ x¢Î[a,x0):A-e <f(x¢). Так как функция монотонно возрастает, то "xÎ(x¢,x0):A-e < f(x¢) £ f(x)£A. Таким образом, равенство  доказано. Аналогично для предела справа  . Для монотонно убывающей функции справедливо аналогичное утверждение. Следствие 1. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы. Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода. Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее (пункт 4, следствие 2). Достаточность. Предположим противное. В точке x0 имеется разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений:  ,  . Пусть, например,  . Так как функция возрастает, то это означает, что  .По лемме  . Имеем  при x £ x0, f(x0) < f(x0+0) £ f(x) при  . Таким образом, значения между f(x0), f(x0+0) не достигаются, что противоречит условию теоремы. Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева. Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f. | 27. Теорема об обратной функции. если функция f:X→Y , где Y=f(X), обратима, то для нее существует единственная обратная функция f−1:Y→X и если y=f(x) то x=f−1(y), и если x=f−1(y), то y=f(x) и f−1(f(x))=x при любом x∈X , f−1(f(y))=y при любом y∈Y . Доказательство. Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне (Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на этом промежутке I.) . Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f). Пусть x1 и x2 — произвольные значения из Е (f), такие, что x2> x1. и пусть y1=g(x1), y2=g(x2). По определению обратной функции x1=f(y1) и x2=f(y2). Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функция, находим, что допущение y1 ≥ y2 приводит к выводу f (y1)≥f(y2), т. е. x1≥ x2. Это противоречит предположению x2> x1. Поэтому y2> y1 , т. е. из условия x2> x1 следует, что g (x2)>g (x1). Именно это и требовалось доказать. | 28, 32. Инвариантность формы первого дифференциала. 28. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Функция f: X → R называется равномерно-непрерывной на множестве X, если      Теорема Кантора Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то она равномерно-непрерывна на этом сегменте. 32. Инвариантность формы первого дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала Пусть y = f ( u ( x )) является сложной функцией аргумента x. По определению дифференциала функции имеем df = f '(x)·u '(x)·dx. Так как, в свою очередь, du = u '(x)· dx, то из последнего соотношения получим df = f '(u)·du. Что совпадает с соотношением dy = f '(x)·dx. Форма дифференциала первого порядка сохраняется вне зависимости от того, является ли аргумент независимым или является в свою очередь функцией другого аргумента. | |||
29. Непрерывность основных элементарных функций. Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке своей области определения. Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя: Алгебраические многочлены  Рациональные дроби  ; Степенные функции  ; Показательные функции  ; Логарифмические функции  Тригонометрические функции  Обратные тригонометрические функции  Гиперболические функции   Обратные гиперболические функции  | 30. Производная функции. Связь между производной и непрерывностью. Пусть в некоторой окрестности точки  определена функция  Производной функции называется такое число  , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h) если существует. Определение производной функции через предел Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,  Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0  | 31. Дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Дифференциа́л — линейная часть приращения функции. Для функций Дифференциал функции  в точке может быть определён как линейная функция  где f'(x0) обозначает производную f в точке x0. Таким образом df есть функция двух аргументов  . Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция  линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение  Теорема: Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке. При этом
где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0. Доказательство Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A. Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана. | |||
33. Правила дифференцирования. При дифференцировании константу можно выносить за производную:  Правило дифференцирования суммы функций:  Правило дифференцирования разности функций:  Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):  Правило дифференцирования частного функций:  Правило дифференцирования функции в степени другой функции:  Правило дифференцирования сложной функции:  Правило логарифма при дифференцировании функции:  | 34. Производная сложной функции. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную  и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0)·u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x). Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x. Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0+Δx: Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0+Δu) – f(u0). Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0. По условию  . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)  , где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0. Перепишем это равенство в виде: Δy= y 'uΔu+α·Δu. Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx  . По условию  . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y 'x= y 'u·u 'x . Теорема доказана. Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной. Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы. По доказанному правилу имеем y 'x= y 'u·u 'x . Применяя эту же теорему для u 'x получаем  , т.е. y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (u)·u 'v (v)·v 'x (x). | 35. Производная обратной функции. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную  , т.е. справедлива формула  . Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0. Покажем, что  . Пусть  . Тогда по свойству предела  . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е.  . Следовательно,  , что и требовалось доказать. Эту формулу можно записать в виде  . |
| 35. Производная обратной функции. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную , т.е. справедлива формула . Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0. Покажем, что . Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. . Следовательно, , что и требовалось доказать. Эту формулу можно записать в виде . | 36. Геометрический смысл производной и дифференциала. Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x№ 0, причем x+D x О (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+D x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+D x,f(x+D x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (D x). Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.  Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел limD x® 0f (D x) = f 0, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX. Справедливо утверждение: Предложение 1. Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке M( x,f(x)) , причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x). Из этого утверждения вытекает геометрический смысл производной: производная f'(x0) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x0, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции. Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x0 имеет вид  y = f(x0)+f'(x0)(x-x0) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM1. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка M1(x+Δx; y+Δy). Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT. Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х. | 37. Производные основных элементарных функций. y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона: (a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2∙b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn, можно доказать, что  Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)n, и, следовательно, Δy=(x+Δx)n – xn =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn. Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3. Найдем предел  Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R. y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной. Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то  Таким образом,  Аналогично можно показать, что  Рассмотрим функцию y= ln x. Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому  Итак,  Используя свойства логарифма можно показать, что  |