Разложением по элементам строки (столбца)

Вариант 21

3. Вычислить определители третьего порядка:

Решение:

Правило треугольника.

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя – соответствующие произведения берутся со знаком "минус", то есть

Находим данный определитель по правилу треугольника.

Разложением по элементам строки (столбца).

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку или столбец, где есть нули.

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число , где – номер строки, – номер столбца.

Минором к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием ‑той строки и -того столбца.

Определитель второго порядка, находим по формуле

Раскладываем данные определитель по первой строке.

Ответ:

4. Записать все миноры и алгебраические дополнения:

а)

Решение:

Минором к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием ‑той строки и -того столбца.

Для , путем вычеркивания 1-й строки и 1-го столбца получаем:

В данном случае знак означает определитель, а не модуль числа.

,

,

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число , где – номер строки, – номер столбца.

Ответ:

, ,

, ;

, ,

, .

б)

Решение:

Находим миноры к элементам матрицы.

Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы.

Ответ:

, , ,

, , ,

, , ;

, , ,

, , ,

, , .

5. Найти матрицу, обратную данной:

а)

Решение:

Определитель матрицы

Так как определитель матрицы не равен нулю, то матрица имеет обратную матрицу. Обратную матрицу к матрице находим по формуле:

,

где – союзная матрица данной матрице , которая состоит из ее алгебраических дополнений, то есть

Из алгебраических дополнений, которые вычисляли в задании 4, записываем

Транспонируем матрицу (то есть строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):

Таким образом,

Ответ:

б)

Решение:

Из задания 3 выписываем значение определителя матрицы

Так как определитель матрицы не равен нулю, то матрица имеет обратную матрицу. Обратную матрицу к матрице находим по формуле:

,

где – союзная матрица данной матрице , которая состоит из ее алгебраических дополнений, то есть

Из алгебраических дополнений, которые вычисляли в задании 4, записываем

Транспонируем матрицу (то есть строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):

Таким образом,

Ответ: