Соотношение между функциями

Все формулы по алгебре и геометрии

Формулы сокращенного умножения
1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a+b)2=a2+2ab+b2

2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a-b)2=a2-2ab+b2

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2

4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a± b)² =a² ± 2ab+b²

(a± b)³ =a³ ± 3a² b+3ab² ± b³

a² -b² =(a+b)(a-b)

a³ ± b³ =(a± b)(a² ∓ab+b² ),

(a+b)³ =a³ +b³ +3ab(a+b)

(a-b)³ =a³ -b³ -3ab(a-b)

xⁿ-aⁿ=(x-a)(x^n-1+ax^n-2+a² x^n-3+...+a^n-1)

ax² +bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

где x₁ и x₂ — корни уравнения

ax² +bx+c=0

Степени и корни :

a^p· a^g = a^p+g

a^p:a^g=a ^p-g

(a^p)^g=a ^pg

a^p /b^p = (a/b)^p

a^p× b^p = ab^p

a⁰=1; a¹=a

a^-p = 1/a

^pÖ a =b => b^p=a

^pÖ a^pÖ b = ^pÖ ab

Ö a ; a = 0

Квадратное уравнение

ax² +bx+c=0; (a¹ 0)

x_1,2= (-b± Ö D)/2a; D=b² -4ac

D>0® x_1¹ x₂ ;D=0® x₁=x₂

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x₁+x₂ = -b/a

x_1× x₂ = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

x₁+x₂ = -p

x_1× x₂ = q

Если p=2k (p-четн.)

и x² +2kx+q=0, то x_1,2 = -k± Ö (k² -q)

Нахождение длинны отр-ка по его координатам

Ö ((x₂-x₁)² -(y₂-y₁)² )

Логарифмы:

log_a x = b => a^b = x; a>0,a¹ 0

a ^{loga x} = x, log_aa =1; log_a 1 = 0

log_a x = b; x = a^b

log_a b = 1/(log _b a)

log_axy = log_ax + log_a y

log_a x/y = log_a x - log_a y

log_a x^k =k log_a x (x >0)

log_a^k x =1/k log_a x

log_a x = (log_c x)/( log_ca); c>0,c¹ 1

log_bx = (log_ax)/(log_ab)

Прогрессии

Арифметическая

a_n = a₁ +d(n-1)

S_n = ((2a₁+d(n-1))/2)n

Геометрическая

b_n = b_n-1 × q

b²_n = b_n-1× b_n+1

b_n = b_1× q^n-1

S_n = b₁ (1- qⁿ)/(1-q)

S= b₁/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p -a ) = sin a

sin (p /2 -a ) = cos a

cos (p /2 -a ) = sin a

cos (a + 2p k) = cos a

sin (a + 2p k) = sin a

tg (a + p k) = tg a

ctg (a + p k) = ctg a

sin² a + cos² a =1

ctg a = cosa / sina , a ¹ p n, nÎ Z

tga × ctga = 1, a ¹ (p n)/2, nÎ Z

1+tg² a = 1/cos² a , a ¹ p (2n+1)/2

1+ ctg² a =1/sin² a , a ¹ p n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ¹ p /2 + p n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y ¹ p /2 + p n

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos² a - sin² a = 2 cos² a - 1 =

= 1-2 sin² a

tg 2a = (2 tga )/ (1-tg² a )

1+ cos a = 2 cos² a /2

1-cosa = 2 sin² a /2

tga = (2 tg (a /2))/(1-tg² (a /2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin² a /2 = (1 - cos a )/2

cos² a /2 = (1 + cosa )/2

tg a /2 = sina /(1 + cosa ) = (1-cos a )/sin a

a ¹ p + 2p n, n Î Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = ½ (cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = ½ (cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ½ (sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотношение между функциями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg²x/2)

cos x = (1-tg² 2/x)/ (1+ tg² x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg²x)

sin² a = 1/(1+ctg² a ) = tg² a /(1+tg² a )

cos² a = 1/(1+tg² a ) = ctg² a / (1+ctg² a )

ctg2a = (ctg² a -1)/ 2ctga

sin3a = 3sina -4sin³ a = 3cos² a sina -sin³ a

cos3a = 4cos³ a -3 cosa= cos³ a -3cosa sin² a

tg3a = (3tga -tg³ a )/(1-3tg² a )

ctg3a = (ctg³ a -3ctga )/(3ctg² a -1)

sin a /2 = ± Ö ((1-cosa )/2)

cos a /2 = ± Ö ((1+cosa )/2)

tga /2 = ± Ö ((1-cosa )/(1+cosa ))=

sina /(1+cosa )=(1-cosa )/sina

ctga /2 = ± Ö ((1+cosa )/(1-cosa ))=

sina /(1-cosa )= (1+cosa )/sina

sin(arcsin a ) = a

cos( arccos a ) = a

tg ( arctg a ) = a

ctg ( arcctg a ) = a

arcsin (sina ) = a ; a Î [-p /2 ; p /2]

arccos(cos a ) = a ; a Î [0 ; p ]

arctg (tg a ) = a ; a Î [-p /2 ; p /2]

arcctg (ctg a ) = a ; a Î [ 0 ; p ]

arcsin(sina )=

1)a - 2p k; a Î [-p /2 +2p k;p /2+2p k]

2) (2k+1)p - a ; a Î [p /2+2p k;3p /2+2p k]

arccos (cosa ) =

1) a -2p k ; a Î [2p k;(2k+1)p ]

2) 2p k-a ; a Î [(2k-1)p ; 2p k]

arctg(tga )= a -p k

a Î (-p /2 +p k;p /2+p k)

arcctg(ctga ) = a -p k

a Î (p k; (k+1)p )

arcsina = -arcsin (-a )= p /2-arccosa =

= arctg a /Ö (1-a ² )

arccosa = p -arccos(-a )=p /2-arcsin a =

= arc ctga /Ö (1-a ² )

arctga =-arctg(-a ) = p /2 -arcctga =

= arcsin a /Ö (1+a ² )

arc ctg a = p -arc cctg(-a ) =

= arc cos a /Ö (1-a ² )

arctg a = arc ctg1/a =

= arcsin a /Ö (1+a ² )= arccos1/Ö (1+a ² )

arcsin a + arccos = p /2

arcctg a + arctga = p /2