I-тектi тектi қисықсызықты интегралдың есептеуi.
Дәріс.
ИСЫҚСЫЗЫҚТЫ ИНТЕГРАЛДАР
1. Доғаның ұзындығы бойынша қисықсызықты интегралдың
Анықтамасы мен қасиеттерi
Кеңiстiкте өзi мен өзi қиылыспайтын (19-сурет) қисықтың нүктелерiнде анықталған функциясын қарайық. Қисықты нүктелерiмен қалауымызша өзара айқаспайтын бөлiкке бөлейiк: . Әрбiр бөлiктен қалауымызша нүктесiн алып, функцияның сол нүктелердегi мәндерiн тауып, оларды сәйкес бөлiктер доғаларының ұзындықтарына көбейтiп, қосалық. Пайда болған өрнек
(7.1)
функциясы үшiн қисығы доғасының ұзындығы бойынша құрылған
19-сурет
интегралдық қосынды деп аталады. Құраушы доғалар ұзындықтарының ең үлкенi:
(7.2)
қисықты бөлшектеу қадамы деп аталады.
Анықтама. Егер -да (7.1) интегралдық қосындысының қисықты бөлшектеу және бөлiктерден нүктелерiн таңдау әдiстерiнен тәуелсiз нақты шегi бар болса, онда сол сан функциясынан қисығының ұзындығы бойынша (I-тектi) қисықсызықты интеграл деп аталаып, деп белгiленедi.
Мұнда интегралдау қисығы доғасы ұзындығының элементi ((15.29)). Анықтама бойынша
(7.3)
Теңдiктiң оң жағындағы шек бар (нақты санға тең) болса, онда -дi қисығы доғасының ұзындығы бойынша интегралданатын функция дейдi.
Теорема. Егер функциясы қисығының нүктелерiнде үзiксiз болса, онда сол қисық доғасының ұзындығы бойынша функция интегралданады да.
Есептеу барысында I-тектi қисықсызықты интеграл анықталған интегралға келтiрiледi. Сондықтан интегралдардың негiзгi қасиеттерi қисық доғасының ұзындығы бойынша алынған интегралға да тән. I-тектi қисықсызықты интегралдың мәнi интегралдау айнымалыларының белгiлеулерiнен және интегралдау қисығы бойымен доға ұзындықтарын есептеу бағытынан тәуелсiз. Қисық доғасы ұзындығы бойынша интегралданатын функциялары үшiн аддитивтiк және бiртектiлiк қасиеттер орындалады:
.
Тұзақ тәрiздi қисықтарды өздерi мн өздерi қиылыспайтын бөлiктерге бөлiп қарауға болады.
Интегралданушы функция болса, онда I-тектi қисықсызықты интеграл интегралдау қисығы доғасының ұзындығын анықтайды:
. (7.4)
I-тектi қисықсызықты инетграл теңсiздiктер арқылы өрнектелетiн қасиеттерге де ие.
Орташа мән туралы теорема. Егер функциясы қисығының нүктелерiнде үзiксiз болса, сол қисықтың бойында
(7.5)
болатындай кемiнде бiр нүктесi табылады.
(7.5) саны интегралданушы функцияның қисығы бойынша орташа мәнi деп аталады. Интегралдау қисығы материялық дене (мысалы, шынжыр) болып, интегралданушы функция дене массасының доға бойынша таралу тығыздығы болса, I-тектi қисықсызықты интеграл интегралдау қисығының массасын анықтайды.
. (7.6)
I-тектi тектi қисықсызықты интегралдың есептеуi.
10. Кеңiстiкте интегралдау қисығы өзiнiң параметрлiк теңдеулерiмен:
(7.7)
берiлсiн. Интервалда тегiс қисық, яғни (7.7) дифференциалданатын функциялар болсын:
.
Сонда I-тектi қисықсызықты интеграл анықталған интегралға айналады:
(7.8)
20. Интегралдау қисығы жазық: болса, онда параметрлiк түрде (7.7) теңдеулерiнiң алғашқы екеуiмен ғана анықталады. Мұндай қисық бойынша I-тектi қисықсызықты интегралды есептеу формуласы
(7.9)
түрiнде жазылады.
30. Жазық қисық -да үзiксiз дифференциалданатын функциясының графигi болса, онда тәуелсiз айнымалыны параметр ретiнде қабылдап,
(7.10)
деп жаза аламыз; (7.9) формуласы
(7.11)
түрiнде енедi.
40. Ендi жазық қисық өзiнiң полярлық координаталардағы теңдеуiмен берiлсiн
.
Қисық доғасы ұзындығының элементi (5.17):
.
Оның үстiне (6.18)-дi ескерсек:
. (7.12)