Основы электронной теории дисперсии Лоренца

Для вычисления поляризации среды рассмотрим классическую осцилляторную модель атома, предложенную Лоренцем. Поскольку главную роль в оптической активности атома играет электрон, мы для удобства будем говорить именно о движении электрона во внешнем поле. Однако все дальнейшие рассуждения остаются в силе и для иных заряженных частиц, входящих в состав атома. Например, при исследовании дисперсии в области инфракрасных волн необходимо учитывать влияние ионов, способных к колебаниям.

Молекулы или атомы диэлектрика будем рассматривать как системы, в состав которых входят электроны, находящиеся внутри молекул в положении равновесия. Под влиянием внешнего поля это равновесие нарушается: заряды e смещаются на расстояние r (рис.1), образуя при этом дипольный момент . Если в единице объема среды находится N атомов, то возникает дипольный момент

, (8)

имеющий смысл оптической поляризации среды. Поскольку смещение электрона происходит под действием внешнего светового поля, то . Для установления явного вида этой зависимости составим и решим уравнение движения электрона во внешнем поле.

В классическом приближении для одномерного движения вдоль оси x уравнение Ньютона имеет вид:

,

где m – масса электрона; в правой части – сумма всех действующих на электрон сил. Сила, удерживающая электрон в положении равновесия, имеет характер упругой силы (квазиупругая сила): , где - соответствующая константа упругой связи. Силу, вызывающую затухание колебаний, можно считать пропорциональной скорости движения электрона, подобно тому, как в механике сила трения считается пропорциональной скорости движения частицы: , где h - коэффициент сопротивления, зависящий от природы среды. Наконец, внешняя сила, вынуждающая электрон совершать колебания, . Учитывая характер действующих сил, уравнение затухающего вынужденного колебания будет иметь вид:

. (9)

Здесь - параметр, описывающий затухание, - квадрат собственной частоты колебаний электрона в атоме.

Поскольку вынуждающая внешняя сила имеет характер волновой функции , то и решение уравнения (9) ищем в виде . Дифференцируя это выражение и подставляя в (9), находим

,

соответственно

.

Используя это решение, определяем, согласно (7), поляризацию среды:

. (10)

Полученное выражение есть не что иное, как материальное уравнение для света в среде.

Сравнивая (10) и (4), находим формулу для линейной оптической восприимчивости среды в модели Лоренца:

(11)

Принимая во внимание (3), можно записать

, (12)

или с учетом (11)

. (13)

Формула (13) дает выражение для комплексной диэлектрической проницаемости в модели Лоренца. По определению для немагнитных сред , значит и показатель преломления - комплексная величина. Полученное решение позволяет объяснить целый ряд явлений, связанных с дисперсией и поглощением света.