Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба.

Кривая у=ƒ(х) называется выпуклой на интервале, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Тогда на этом интервале

ƒ¢¢(х)< 0.

Кривая у=ƒ(х) называется вогнутой на интервале, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Тогда на этом интервале

ƒ¢¢(х) > 0

Определение. Точкой перегиба кривой называется точка, по одну сторону от которой кривая выпукла, по другую вогнута.

В точке перегиба ƒ¢¢(х)=0.

Итак, знак второй производной (как и знак самой функции и ее первой производной) свидетельствует об особенностях графика функции. Еще раз остановимся на них.

Если для всех х на интервале (а, b) ƒ(х) > 0 (ƒ(х) <0), то график лежит выше (ниже) оси абсцисс.

Если для всех х на интервале (а, b) ƒ¢(х) > 0 (ƒ¢(х) < 0), то функция на (а, b) возрастает (убывает).

Если для всех х на интервале (а, b) ƒ¢¢(х) > 0 (ƒ¢¢(х) < 0), то график на (а, b) вогнут (выпукл).

Уравнение ƒ(х)=0 определяет «нули» функции, т. е. точки пересечения графика с осью Ох.

Уравнение ƒ¢(х)=0 определяет критические точки.

Уравнение ƒ¢¢(х)=0 определяет возможные точки перегиба.

Схема исследования функции

Для исследования функции ƒ(х) и построения графика у=ƒ(х) следует найти:

1) область определения функции и точки пересечения графика с осями координат;

2) интервалы монотонности;

3) точки экстремумов и значения функции в этих точках;

4) интервалы выпуклости и вогнутости графика;

5) точки перегиба графика;

6) построить в декартовой системе координат все полученные точки (иногда, для уточнения графика, получают дополнительные точки) и сам график.

Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

При решении некоторых задач метода оптимизации важно уметь находить наименьшее или наибольшее значения функции на некотором отрезке. Эти значения функция достигает либо в критических точках, либо на концах отрезка.

Схема отыскания наименьшего и наибольшего значений функции ƒ(х) на отрезке [а, b].

1. Найти производную функции ƒ¢(х).

2. Найти критические точки из уравнения ƒ¢(х)=0.

3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат данному отрезку [а, b] и найти значение функции ƒ(х) в каждой такой точке.

4. Вычислить значения функции ƒ(х) на концах отрезка: ƒ(а) и ƒ(b).

5. Из полученных значений функции выбрать самое большое (наибольшее) и самое малое (наименьшее).

Пример 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции ƒ(х)=х³–9х²+24х–10 на отрезке [0 3].

1. ƒ¢(х)=3х²–9·2х²+24.

2. ƒ¢(х)=0, 3(х²–6х+8)=0, х₁=2, х₂=4.

3. Точка х₂=4 не принадлежит отрезку [0, 3]. Поэтому вычислим значение функции только в точке х₁=2

ƒ(2)=2³–9·2²+24·2–10=10.

4. Значения функции на концах отрезка: ƒ(0)= –10, ƒ(3)=3³–9·3²+24·3–10, ƒ(3)=8.

5. Получены значения:

ƒ(2)=10, ƒ(0)= –10, ƒ(3)=8.

Наибольшее значение равно 10 и достигается в точке х=2. Наименьшее – равно –10 и достигается в точке х=0.

Пример 3.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой у=х+36х²–2х³–х⁴.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, т. е. хЄ(–∞, +∞).

Найдем вторую производную. у¢=1+72х–6х²–4х³.

у¢¢=72–12х–12х²= –12(х²+х–6).

Из уравнения у¢¢=0 получим абсциссу точки перегиба: –12(х²+х–6)=0 х₁= –3; х₂=2.

Определим знак у¢¢ на интервалах

(–∞; –3), (–3; 2), (2, +∞).

х	(–∞, –3)	-3	(–3; 2)		(2; +∞)
у¢¢	–		+		–
форма кривой	выпукла	перегиб	вогнута	перегиб	выпукла

Найдем ординаты точек перегиба:

у(–3)=726; М₁(–3; 726) – точка перегиба

у(2)=114; М₂(2; 114) – точка перегиба.

На интервале (–3; 2) кривая вогнута. На интервалах (–∞; –3) и (2; +∞) – выпукла.

Пример 4.

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Данная функция является многочленом (можно раскрыть скобки, получим многочлен третьей степени), поэтому она определена, непрерывна и дифференцируема при любых х.

2. Найдем производную.

.

Из уравнения у¢=0 найдем критические точки: 3х·(х–2)=0, х₁=0, х₂=2. Исследуем их.

х	(–∞, 0)		(0; 2)		(2; +∞)
у¢	+		–		+
у
	возрастает	max	убывает	min	возрастает

3. Итак, функция возрастает на интервалах (–∞, 0) и (2, +∞), убывает на интервале (0; 2), имеет максимум при х=0 и минимум при х=2:

у_max=у(0)=4; у_min=у(2)=0.

4. Найдем вторую производную.

у¢¢=6·(х-1).

Кривая выпукла там, где у¢¢ < 0, т. е. 6·(х–1) < 0, х < 1.

Кривая вогнута там, где у¢¢ > 0, т. е. х > 1.

Итак, на интервале (–∞, 1) кривая выпукла; а на интервале (1, +∞) – вогнута.

5. Точку перегиба найдем из уравнения у¢¢=0. Таким образом, х=1 – абсцисса точки перегиба, т.к. эта точка разделяет интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Ордината точки перегиба: у(1)=2.

График функции у=(х+1)·(х–2)² пересекает ось Ох при у=0, т. е. при х= –1 и х=2;

пересекает ось Оу при х=0, т. е. при у=4. Мы получили три точки: (–1; 0), (2; 0), (0; 4).

Все полученные точки внесем в таблицу, добавив соседние с ними.

х	–2	–1
у	–16		3
				max	перегиб	min

Рис. 28 Кривая у=(х+1)(х–2)².