Предполагается, что ориентированный граф не содержит контуров отрицательной длины
Алгоритм 3.1 (Алгоритм Форда – Беллмана).
Основными вычисляемыми величинами этого алгоритма являются величины lj(k), где i = 1, 2, … , n (n – число вершин графа); k = 1, 2, … , n – 1. Для фиксированных i и k величина lj(k) равна длине минимального пути, ведущего из заданной начальной вершины х1в вершину хi и содержащего не более k дуг.
Шаг 1. Установка начальных условий.
Ввести число вершин графа n и матрицу весов C = (cij).
Шаг 2. Положить k = 0. Положить li(0) = ¥ для всех вершин, кроме х1; положить l1(0) = 0.
Шаг 3. В цикле по k, k = 1,..., n – 1, каждой вершине xi на k-ом шаге приписать индекс li(k) по следующему правилу:
li(k) = 
{lj(k – 1)+ cji} (3.1)
для всех вершин, кроме х1, положить l1(k) = 0.
В результате работы алгоритма формируется таблица индексов li(k), i = 1, 2, … , n, k = 0, 1, 2, … , n – 1. При этом li(k) определяет длину минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более k дуг.
Шаг 5. Восстановление минимального пути.
Для любойвершины xs предшествующая ей вершина xr определяется из соотношения:
lr(n – 2) + crs = ls(n – 1), xrÎ G-1(xs), (3.2)
где G-1(xs) - прообраз вершины xs.
Для найденной вершины xr предшествующая ей вершина xq определяется из соотношения:
lq(n – 3) + cqr = lr(n – 2), xqÎ G-1(xr),
где G-1(xr) - прообраз вершины xr, и т. д.
Последовательно применяя это соотношение, начиная от последней вершины xi , найдем минимальный путь.
Пример 3.15.
С помощью алгоритма 3.1 найдем минимальный путь из вершины х1 в вершину х3 в графе, изображенном на рис. 3.10.
Рис. 3.10
Рассмотрим подробно работу алгоритма Форда – Беллмана для этого примера. Значения индексов li(k) будем заносить в таблицу индексов (табл. 3.1).
Шаг 1. Введем число вершин графа n =5. Матрица весов этого графа имеет вид:
C = 
.
Шаг 2. Положим k = 0, l1(0) = 0, l2(0) = l3(0) = l4(0) = l5(0) = ¥. Эти значения занесем в первый столбец табл. 3.1.
Шаг 3.
k = 1.
l1(1) = 0.
Равенство (7.1) для k = 1 имеет вид:
li(1) = 
{lj(0) + cji}.
l2(1) = min{l1(0) + c12; l2(0) + c22; l3(0) + c32; l4(0) + c42; l5(0) + c52;} = min{0 + 1; ¥ + ¥; ¥ + ¥; ¥ + ¥; ¥ + ¥} = 1.
l3(1) = min{l1(0) + c13; l2(0) + c23; l3(0) + c33; l4(0) + c43; l5(0) + c53;} = min{0 + ¥ ; ¥ + 8; ¥ + ¥; ¥ + 2; ¥ + ¥} = ¥ .
l4(1) = min{l1(0) + c14; l2(0) + c24; l3(0) + c34; l4(0) + c44; l5(0) + c54;} = min{0 + ¥ ; ¥ + 7; ¥ + 1; ¥ + ¥; ¥ + 4} = ¥ .
l5(1) = min{l1(0) + c15; l2(0) + c25; l3(0) + c35; l4(0) + c45; l5(0) + c55;} = min{0 + 3; ¥ + 1; ¥ – 5; ¥ + ¥; ¥ + ¥} = 3.
Полученные значения li(1) занесем во второй столбец табл. 3.1. Убеждаемся, что второй столбец, начиная со второго элемента, совпадает с первой строкой матрицы весов, что легко объясняется смыслом величин li(1), которые равны длине минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более одной дуги.
k = 2.
l1(2) = 0.
Равенство (3.1) для k = 2 имеет вид:
li(2) = {lj(1) + cji}.
l2(2) = min{0 + 1; 1 + ¥; ¥ + ¥; ¥ + ¥; 3 + ¥} = 1.
l3(2) = min{0 + ¥ ; 1 + 8; ¥ + ¥; ¥ + 2; 3 + ¥} = 9 .
l4(2) = min{0 + ¥ ; 1 + 7; ¥ + 1; ¥ + ¥; 3 + 4} = 7 .
l5(2) = min{0 + 3; 1 + 1; ¥ – 5; ¥ + ¥; 3 + ¥} = 2.
Полученные значения li(2) занесем в третий столбец табл. 3.1. Величины li(2) равны длине минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более двух дуг.
k = 3.
l1(3) = 0.
Равенство (3.1) для k = 3 имеет вид:
li(3) = {lj(2) + cji}.
l2(3) = min{0 + 1; 1 + ¥; 9 + ¥; 7 + ¥; 2 + ¥} = 1.
l3(3) = min{0 + ¥ ; 1 + 8; 9 + ¥; 7 + 2; 2 + ¥} = 9 .
l4(3) = min{0 + ¥ ; 1 + 7; 9 + 1; 7 + ¥; 2 + 4} = 6 .
l5(3) = min{0 + 3; 1 + 1; 9 – 5; 7 + ¥; 2 + ¥} = 2.
Полученные значения li(3) занесем в четвертый столбец табл. 3.1. Величины li(3) равны длине минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более трех дуг.
k = 4.
l1(4) = 0.
Равенство (3.1) для k = 4 имеет вид:
li(4) = {lj(3) + cji}.
l2(4) = min{0 + 1; 1 + ¥; 9 + ¥; 6 + ¥; 2 + ¥} = 1.
l3(4) = min{0 + ¥ ; 1 + 8; 9 + ¥; 6 + 2; 2 + ¥} = 8 .
l4(4) = min{0 + ¥ ; 1 + 7; 9 + 1; 6 + ¥; 2 + 4} = 6 .
l5(4) = min{0 + 3; 1 + 1; 9 – 5; 6 + ¥; 2 + ¥} = 2.
Полученные значения li(4) занесем в пятый столбец табл. 3.1. Величины li(4) равны длине минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более четырех дуг.
Таблица 3.1
| I (номер вершины) | li(0) li(1) li(2) li(3) li(4) |
| 0 0 0 0 0 ¥ 1 1 1 1 ¥ ¥ 9 9 8 ¥ ¥ 7 6 6 ¥ 3 2 2 2 |
Шаг 5. Восстановление минимального пути.
Для последней вершины x3предшествующая ей вершина xr определяется из соотношения (3.2) полученного при s =3:
lr(3) + cr3 = l3(4), xrÎ G-1(x3), (3.3)
где G-1(x3) - прообраз вершины x3.
G-1(x3)= {x2, x4}.
Подставим в (3.3) последовательно r = 2 и r = 4, чтобы определить, для какого r это равенство выполняется:
l2(3) + c23 = 1 + 8 ¹ l3(4) = 8,
l4(3) + c43 = 6 + 2 = l3(4) = 8.
Таким образом, вершиной, предшествующей вершине x3, является вершина x4.
Для вершины x4предшествующая ей вершина xr определяется из соотношения (3.2) полученного при s =4:
lr(2) + cr4 = l4(3), xrÎ G-1(x4), (3.4)
где G-1(x4) - прообраз вершины x4.
G-1(x4)= {x2, x3, x5}.
Подставим в (3.4) последовательно r = 2, r = 3 и r = 5, чтобы определить, для какого r это равенство выполняется:
l2(2) + c24 = 1 + 7 ¹ l4(3) = 6,
l3(2) + c34 = 1 + 1 ¹ l4(3) = 6,
l5(2) + c54 = 2 + 4 = l4(3) = 6,
Таким образом, вершиной, предшествующей вершине x4, является вершина x5.
Для вершины x5предшествующая ей вершина xr определяется из соотношения (3.2) полученного при s =5:
lr(1) + cr5 = l5(2), xr 
G-1(x5), (3.5)
где G-1(x5) - прообраз вершины x5.
G-1(x5)= {x1, x2}.
Подставим в (3.5) последовательно r = 1 и r = 2, чтобы определить, для какого r это равенство выполняется:
l1(1) + c15 = 0 + 3 ¹ l5(2) = 2,
l2(1) + c25 = 1 + 1 = l5(2) = 2,
Таким образом, вершиной, предшествующей вершине x5, является вершина x2.
Для вершины x2предшествующая ей вершина xr определяется из соотношения (3.2) полученного при s =2:
lr(0) + cr2 = l2(1), xr G-1(x2), (3.6)
где G-1(x2) - прообраз вершины x2.
G-1(x2)= {x1}.
Подставим в (3.6) r = 1, чтобы определить, выполняется ли это равенство:
l1(0) + c12 = 0 + 1 = l2(1) = 1.
Таким образом, вершиной, предшествующей вершине x2, является вершина x1.
Итак, найден минимальный путь – x1, x2, x5, x4, x3, его длина равна 8.