Производная сложной функции

Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые, то . Аргумент u часто называют промежуточной переменной. Это правило выполняется для сложной функции, которая имеет конечное число промежуточных аргументов. Если, например, у = f(u) и u = u(v), v=v(x), то , если f(u) , u(v) и v(x) - дифференцируемые.

Формулы дифференцирования основных функций

1. 8.

2. , 9. ,

3. 10.

4. 11.

5.

6. 12.

7. 13.

Примеры. Найти производные функций:

1. у = х4 – 2х3 + 3х + 1

Решение. Используя правила и формулы дифференцирования, получаем: (х4 – 2х3 + 3х + 1)' = = .

2.

Решение. Поскольку , то = .

3.

Решение. Имеем произведение функций, поэтому

4.

Решение. Данная функций является сложной: у = f(u) , u = u(x), где u = х2 + 2х..

Дифференцирование неявно заданных функций

Равенство обозначает у как неявную и дифференцированную функцию от х. Продифференцировав по х обе части равенства, получим линейное, относительно равенство, из которого получим значение .

Пример. Найти , если у > -5:

(1)

Решение. Поскольку у функция от х, то у2 – сложная функция и . Продифференцируем обе части равенства по х:

(2)

Подставляя в равенство (1) х = 0, получим

откуда

Поскольку у > -5, то . Используя (2), имеем .

Логарифмическое дифференцирование

Логарифмической производной функции у = f(x) называется производная от логарифма этой функции:

В некоторых случаях предварительное логарифмирование значительно упрощает дифференцирование функции, а для функции вида есть единственно возможным способом дифференцирования.

Примеры:

Найти производную функции .

Решение: Логарифмируя обе части равенства получаем

, откуда

.

Поэтому, = =

Найти производную показательно-степенной функции .

Решение: Имеем = =

Производные высших порядков.

Производную или называют производной первого порядка функции f(x). Производная называется производной второго порядка и обозначается одним из символов: . В общем виде производную n –го порядка (или n-ой производной) называется производная от производной порядка (n – 1), то есть . Обозначения, например: .

Пример. Найти производную n –го порядка функции у = cos x.

Решение. Последовательно дифференцируя, получим:

у = cos x = сos(x+0 )

x = cos(x+1 )

x = cos(x+2 )

x = cos(x+3 )

……………………………….

cos(x+n ), n=

Параметрически заданные функции и их дифференцирование

Первую производную функции, заданной параметрически

находим по формуле .

Вторую производную удобно вычислять по формуле: .

Пример. Найти производную второго порядка функции

Решение. Согласно формуле:

Далее, .

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя дает возможность раскрыть некоторые виды неопределенности, используя производную. Оно основывается на данной ниже теореме.

Теорема. Пусть функции и определенные и дифференцируемые в окружности точки , за исключением, возможно, самой точки а, и пусть в этой окружности. Если функции и являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими при и к тому же существует отношение производных , то существует также предел , причем эти пределы равны между собой: = .

Теорема справедлива и в том случае, когда . Если производные и , n > 2, удовлетворяют тем же самым условиям, что и функции и , то = .

Теорема дает возможность раскрыть неопределенность типа , которые будем называть основными. Чтобы раскрыть неопределенности типа 0, необходимо вначале привести их к основным и применить правило Лопиталя.

Пример.

1.

2. =

3.

4.

5.

Откуда, .

6. , действительно,

.

Напомним, что во многих случаях пользуемся равенством .