Покажем, что M - -алгебра с единицей Е .

Нам нужно доказать измеримость объединения и пересечения счётного числа измеримых множеств. Пусть . Покажем, что А M . Для этого представим сначала множество в виде суммы счётного числа попарно не пересекающихся множеств:

Так как

то

поэтому числовой знакоположительный ряд сходится и, следовательно, найдётся номер N такой, что . Далее, так как множество измеримо, то найдётся множество B R(S) такое, что

А так как

,

то

,

что и означает измеримость множества А . Наконец, измеримость пересечения счётного числа измеримых множеств следует из измеримости дополнения измеримого множества и равенства

Теорема полностью доказана.

Замечания.

1) Совокупность M всех измеримых по Лебегу множеств A E имеет ту же мощность

гиперконтинуум, что и совокупность E⁰ всех частей E .

2) Существуют неизмеримые по Лебегу множества.

Мерой Лебега (A) называется внешняя мера *(A) на совокупности M всех измеримых по Лебегу множеств A E

Борелевские множества и борелевские функции

Классификация борелевских множеств на числовой прямой .

Борелевским множеством нулевого класса или борелевским множеством класса В₀на числовой прямой называется любое множество, открытое или замкнутое (относительно метрики (x , y) = |x – y| ) . Борелевским множеством первого класса или борелевским множеством класса В₁на числовой прямой называется любое множество, не являющееся ни открытым, ни замкнутым, но представимое в виде пересечения счётного числа открытых множеств или в виде объединения счётного числа замкнутых множеств. Борелевским множеством второго класса или борелевским множеством класса В₂на числовой прямой называется любое множество, не входящее ни в В₀ , ни в В₁ , но представимое в виде пересечения или объединения счётного множеств из В₀ или из В₁ . И т. д. с учётом всего набора ординальных чисел мощности . Заметим, что с учётом конструкции открытых и замкнутых множеств на числовой прямой с расстоянием

(x , y) = |x – y| вместо класса В₀ можно было бы взять более узкий класс всех промежутков на числовой прямой. Заметим также, что совокупность всех борелевских множеств из промежутка [a , b) есть не что иное как минимальная - алгебра М(S)над полукольцом , то есть совокупность тех и только тех множеств из [a , b) , которые получаются из множеств полукольца S с помощью операций не более чем счётных объединений или пересечений, выполняемых не более чем счётное число раз (с учётом всего набора ординальных чисел мощности ).

Классификация Бэра аналитически изобразимых на отрезке [a , b] функций.

Аналитически изобразимой функцией нулевого класса В'₀ на отрезке [a , b] называется всякая непрерывная [a , b] на функция. Аналитически изобразимой функцией первого класса В'₁ на отрезке [a , b] называется всякая функция, не являющаяся непрерывной на всём [a , b] , но представимая на [a , b] как предел всюду на [a , b] сходящейся последовательности функций из класса В'₀ . Аналитически изобразимой функцией первого класса В'₂ на отрезке [a , b] называется всякая функция, не входящая ни в В'₀ , ни в В'₁ , но представимая как предел всюду на [a , b] сходящейся последовательности функций из классов В'₀ или В'₁ . И т. д. с учётом всего набора ординальных чисел мощности . Заметим, что с учётом теоремы Вейерштрасса о том, что всякая непрерывная на отрезке [a , b] функция есть предел некоторой равномерно сходящейся на [a , b] последовательности полиномов, вместо класса В'₀ можно было бы взять более узкий класс всех полиномов (или даже всех полиномов с рациональными коэфф-тами).

Замечание (о классификации аналитически изобразимых функций по Борелю).

Примеры: 1) функции с конечным числом точек разрыва, 2) функция Дирихле.

Литература: [2, гл. ХV ; 12] из списка литературы 4-го семестра.

Задача 7.Покажите, что следуюшие функции являются аналитически изобразимыми

функциями первого класса:

а) функции со счётным числом точек разрыва,

б) монотонные функции и функции ограниченной вариации,

в) производные дифференцируемых всюду на [a , b] функций