Колебания материальнй точки

Материальная точка движется вдоль оси Х под действием упругой силы и возмущающей силы .Проекции этих сил на ось Х равны:

Масса точки ,амплитуда возмущающей силы ,круговая частота этой силы ,а также начальные условия заданы в таблице.

Номер строки таблицы соответствует варианту задания.

1.Подобрать жесткость пружины из условия, чтобы коэффициент динамичности равнялся двум для ,где – частота свободных колебаний.

2.Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от расстройки по точкам, найденным для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1; 1,1; 1,5; 2.

3.Найти закон движения точки при заданных в таблице начальных условиях и найденном ранее значении коэффициента жесткости пружины.

ПРИМЕР. Груз массы m прикреплён к пружине, как показано на рисунке. На груз действует возмущающая сила .

Найти жесткость пружины из условия, чтобы коэффициент динамичности в доризонансной зоне равнялся

Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от расстройки.

Найти закон движения точки при следующих условиях:

кг, , , м, .

Груз считать материальной точкой

РЕШЕНИЕ

1.Найдем жесткость пружины. При отсутствии сил сопротивления коэффициент динамичности ,

Где – частота свободных колебаний.

Пологая, что и учитывая, что частота возмущения ,найдём

С другой стороны, частота свободных колебаний

,

что позволяет найти коэффициент жесткости пружины

2.Амплитуду вынужденных колебаний рассчитываем по формуле

Где –деформация пружины в случае статического действия силы Н, .

3.Находим закон движения точки.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (см., например, Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.– М.:Высш. Шк.,1995)

.

здесь .

Общее решение уравнения равняется сумме общего решния однородного уравнения

,

которое обозначим Х₁ ,и частного решения неоднородного уравнения Х₂:

.

Однородное уравнение имеет общее решение :

,

Где и –постоянные интегрирования.

Частное решение неоднородного уравнения

.

Таким образом,

.

Подсчитаем значение А для следующих расстройки:

: 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1; 1,1;1, 25; 1, 5;2.

При .

При .

По аналогичным формулам найдем амплитуду вынужденных колебаний при других значениях и результаты вычислений занесем в таблицу

Z	0	0,25	0,5	0,75	0,9	1	1,1	1,25	1,5	2
104м	2,78	2,79	3,71	6,35	14,43	¥	13,24	4,94	2,22	0,93

По этим данным строем график А=А(z),который называется амплитудно-частотной характеристикой .

Найдём постоянные интегрирования и из начальных условий.

При , м. отсюда находим м

Чтобы определить найдем выражение скорости точки по формуле .

Согласно условию задачи при м/с.

Найдём :

м.

Итак, движение точки определяется выражением

Ответ:

,

Варианты задачи 7.

Номер варианта	Масса (кг)	Амплитуда силы Н(H)	Круговая частота p(c-1)	X0(м)
	0,4			0,03
					1,2
	0,8			0,04
				0,02
					0,8
	0,6			0,05
				0,01
	2,4
				0,03
					0,6
	0,9			0,1
	1,4				2,2
				0,008
	0,7
	3,6			0,02
	0,8				2,8
	10,6			0,018
	7,6
	0,9			0,1
Номер варианта	Масса (кг)	Амплитуда силы Н(H)	Круговая частота p(c-1)	X0(м)
	1,2				1,5
	2,8			0,08
	5,6
	6,8			0,012
	0,65				1,6
	4,7			0,015
	1,5
				0,06
	2,8				2,4

ЗАДАЧА № 8

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

Вертикальный вал вращается с постоянной угловой скоростью с^-1, закреплён подпятником и цилиндрическим подшипником.

К валу жестко прикреплен невесомый стержень 1 длинной м,

точечной массой кг на конце и однородный стержень 2 длинной м, имеющий массу кг; оба стержня лежат в одной плоскости.

Пренебрегая весом тела, определить реакции подпятника и подшипника. При окончательных расчётах принять м.

ПРИМЕР.С невесомым валом , вращающимся с постоянной угловой скоростью , жестко скреплен стержень ОД длинной и массой ,имеющий на конце груз массой .

Определить реакции подпятника А и подшипника В.

РЕШЕНИЕ.Рассмотрим систему состоящую из вала АВ и стержня ОД, и покажем на рисунке внешние силы, действующие на систему; силы тяжести и , составляющие и реакции подпятника и реакция подпятника.

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов (точек) стержня и груза. Так как вал вращается равномерно, то все его элементы имеют только нормальные ускорения, направленные к оси вращения.

,

где – расстояние элемента стержня от оси.

Тогда сила инерции элемента стержня ,где – масса элемента. Эта сила представляет собой распределённую нагрузку, пропорциональную расстоянию (см. рисунок).и направлена в сторону противоположную . Распределённую нагрузку заменяем равнодействующей , причем её величина

,

где – масса стержня;

– ускорение его масс С.

Приложена эта сила в точке , где . Направление силы показано на рисунке.

Сила инерции груза .

Так как все действующие силы и силы инерции лежат в плоскости ,то и реакции подпятника и подшипника тоже лежат в этой плоскости, что было учтено в начале решения

По принципу Даламбера приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой системы уравнения равновесия:

;

;

Подставляя сюда числовые значения сил веса

,

.

и определённые ранее силы инерции и , найдем искомые реакции

, , .

Знаки указывают что силы и направлены противоположно показанным на рисунке.

Ответ: , , .

Варианты задачи 8.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Практикум

для студентов факультета заочного обучения

ЗАЙЦЕВ Александр Семенович

МИЗОНОВ Вадим Евгеньевич

ШАПИН Вадим Иванович

Редактор

Компьютерная верстка Г.Н. Чернова

Лицензия ИД № 05285 от 4 июля 2001 года

Подписано в печать Формат 60х84 1\1б. Печать плоская.

Усл. печ. л . Тираж 400 экз.

ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»

I 53003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, 5

Отпечатано в РИО ИГЭУ.

М=2 кНм