Решение систем линейных уравнений.

Кафедра математики и

Естественнонаучных дисциплин

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Часть 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Математический анализ.

Методические материалы и указания

к выполнению контрольных работ

для студентов заочной формы обучения

Королёв, 2010

Борисова О.Н., Сидоренкова И.В., Федосеева З.Р. Математика и ее приложения. Методические материалы и указания к выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения. Часть 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Математический анализ. - Королёв: КИУЭС, 2010, 83 с.

Рецензент: к.ф.м.н., доцент Пастухова Ю.И.

В данном учебном пособии излагаются основные теоретические сведения и приводятся решения задач контрольных работ по математике для студентов-заочников КИУЭС. Пособие может служить путеводителем при работе с более полными и подробными курсами математики.

РЕКОМЕНДОВАНО   Учебно-методическим советом КИУЭС Протокол № от 2010 г.

Учебное пособие рассмотрено и одобрено на заседании кафедры математики. Протокол №7 от 22.02.2010 г.

Зав. кафедрой математики и естественнонаучных дисциплин КИУЭС к.ф.-м.н., доцент Борисова О.Н.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Решение систем линейных уравнений.

Имеется три основных способа решения систем линейных уравнений. Первым является метод Гаусса последовательного исключения переменных. Два других способа – метод обратной матрицы и правило Крамера.

Задача 1.1.Решить систему линейных уравнений тремя способами: а) методом Гаусса последовательных исключений неизвестных; б) по формуле с вычислением обратной матрицы ; в) по формулам Крамера.

Решение. а) Начнем с метода Гаусса последовательных исключений неизвестных. Сначала нужно преобразовать систему уравнений так, чтобы переменная осталась только в одном уравнении системы, например, в первом. Затем уравнение, в которое входит , отбрасывают, и рассматривают систему из оставшихся уравнений, в котором число уравнений и число неизвестных уменьшилось. Эту редуцированную систему преобразуют так, чтобы переменная осталась только в одном уравнении. Затем уравнение, в которое входит , отбрасывают, и вновь рассматривают систему из меньшего числа уравнений. Преобразования с последовательным исключением неизвестных , , и т.д. продолжают до тех пор, пока к каждой неизвестной не будет применена процедура исключения. После этого значения , , ,… определяют сначала из последнего уравнения, затем из предпоследнего и т.д., вплоть до первого уравнения.

Итак, возьмем первое уравнение системы и с его помощью исключим переменную из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение перепишем без изменений, а второе и третье уравнения сложим с подходящими коэффициентами с первым уравнений системы. Сначала умножим первое уравнение системы на 10, второе - на , а затем сложим полученные уравнения. Получим

Аналогично, умножим первое уравнение системы на 8, второе - на , а затем сложим.

Данное преобразование будем записывать в следующем виде:

Û

Возьмем теперь второе уравнение и с его помощью исключим переменную из третьего уравнения системы. Для этого второе уравнение системы умножим на 63, третье уравнение умножим на , и сложим полученные уравнения.

Û

Мы привели систему уравнений к так называемому верхне-треугольному виду. Теперь методом обратного хода можно определить сначала значение переменной из последнего уравнения системы, затем значение переменной из второго уравнения, и, наконец, значение переменной из первого уравнения.

Ответ: .

б) Решим теперь ту же систему уравнений матричным способом, с вычислением обратной матрицы.

Напомним основные понятия матричной алгебры. Матрицей размера называется таблица, в которой имеется строк и столбцов. Элемент матрицы , стоящий в -й строке, –м столбце, обозначается через . Матрицы и размера и можно перемножить, и получить в результате матрицу , , размера по следующему правилу:

.

Другими словами, элементы -й строки матрицы умножается почленно на элементы –го столбца матрицы , затем полученные произведения складываются и записываются в –й строке, -м столбце матрицы .

Рассмотрим квадратные -матрицы, у которых число строк и столбцов одно и то же. Единичной матрицей размера называется матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, а остальные элементы равны 0,

.

Основное свойство единичной матрицы состоит в том, что для любой матрицы размера произведение равно . Матрица называется обратной для квадратной -матрицы , если . Обозначается обратная матрица . Обратная матрица определена однозначно, но существует тогда и только тогда, когда . Как вычислять определитель и как находить обратную матрицу , будет объяснено ниже.

Используя правило умножения -матрицы и вектор-столбца размера , запишем исходную систему линейных уравнений в виде

где

Поскольку по определению обратной матрицы имеем

Û ,

и так как , решение системы можно записать в виде

.

Чтобы находить , необходимо научиться вычислять определитель матрицы .

Нам понадобятся два понятия: знак элемента матрицы и минор элемента. Для элемента , стоящего в –й строке, –м столбце матрицы , знак равен числу . Удобно использовать следующее правило знакочередования: у элемента первой строки, первого столбца знак равен , а у любых двух соседних по строке или столбцу элементов знаки различны.

Минором элемента называется определитель матрицы, которая получается вычеркиванием -й строки и –го столбца исходной матрицы .

Определение определителя матриц начнем с матриц размера . Определитель матрицы размера равен произведению элементов главной диагонали (то есть диагонали, идущей сверху вниз и слева направо) минус произведение элементов сопряженной диагонали,

.

В частности, .

Определитель матрицы размера сводится к вычислению трех определителей матриц размера по следующему правилу: надо выделить произвольную строку (или столбец) матрицы , умножить каждый элемент этой строки (столбца) на знак этого элемента, и умножить на минор элемента, а затем все полученные произведения сложить. Это правило называется разложением определителя по строке (столбцу). Можно показать, что результат не зависит от выбора строки или столбца.

Приведем результат разложения определителя матрицы по первой строке:

В частном случае:

Поскольку , обратная матрица существует. Для вычисления используем формулу

,

где – алгебраические дополнения элементов матрицы (заметим, что алгебраические дополнения элементов строк записываются в соответствующие столбцы). Получаем:

, ,

, , ,

, , .

Обратная матрица, следовательно, имеет вид

Остается умножить матрицу на столбец ,

Результаты совпали.

в) Рассмотрим третий способ решения систем линейных уравнений, который является непосредственным следствием матричной формулы ¾ правило Крамера.

Обозначим через определитель матрицы . Пусть есть определитель матрицы , в которой вместо первого столбца стоит столбец . Пусть есть определитель матрицы , в которой вместо второго столбца стоит столбец . Наконец, пусть есть определитель матрицы , в которой вместо третьего столбца стоит столбец .

,

, ,

Если , то согласно правилу Крамера решение системы уравнений можно найти по формулам

, , .

Имеем:

Следовательно, по формулам Крамера,

, , .

Ответы вновь совпали.