Задачи для самостоятельного решения. 1.3.1.Проверить, что общее определение (1.2) определителя -го порядка при совпадает с
1.3.1.Проверить, что общее определение (1.2) определителя -го порядка при совпадает с формулой (1.3).
В задачах 1.3.2-1.3.7 вычислить определители.
1.3.2. . | 1.3.3. . |
1.3.4. . | 1.3.5. . |
1.3.6. . | 1.3.7. . |
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Основные понятия и формулы
Линейные операции: сложение и умножение на число
Суммой -матриц и называется -матрица, обозначаемая , у которой в -й строке и -м столбце стоит сумма соответствующих элементов матриц и .
Произведением -матрицы на число называется -матрица, обозначаемая или , у которой в -й строке и -м столбце стоит число , то есть .
На определенные выше операции сложения матриц и умножения матрицы на число переносятся соответствующие свойства операций над числами.
Для любых -матриц , , и любых чисел ,
1) ;
2) ;
3) , где – матрица из нулей – нулевая матрица;
4) , где – матрица противоположная ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) .
Умножение матриц
Пусть – -матрица, – -матрица, то есть число столбцов у равно числу строк у , или более наглядно:
длина строки матрицы высоте столбца матрицы .
Произведением матрицы на матрицу называется -матрица, обозначаемая или , в -ой строке, -м столбце которой стоит элемент, равный сумме произведений элементов -ой строки на соответствующие элементы -го столбца:
( ). (2.1)
Если длина строки матрицы не равна высоте столбца матрицы , то произведение не определено!
Для любых квадратных матриц и одного порядка их произведение определено и также является квадратной матрицей -го порядка.
Свойства умножения матриц: Для любых квадратных матриц , , одного порядка и любого числа
1) ;
2) и ;
3) , где – единичная матрица, элементы которой, стоящие на главной диагонали равны 1, а все остальные равны 0;
4) ,
5) .
Аналогичные 1)-4) свойства имеют место и для любых матриц при условии, что все выписанные произведения определены.
На умножение матриц (даже квадратных) уже не переносятся все свойства умножения чисел. В частности, нет перестановочности: в общем случае (пример 2.2.2); равенство , где – нулевая матрица возможно при и (задача 2.3.11).
Транспонирование матриц
Операция транспонирования ставит в соответствие матрице размера транспонированную матрицу размера , получаемую из заменой каждой строки на столбец с тем же номером: . Для квадратной матрицы транспонирование – «поворот» матрицы вокруг главной диагонали – каждый элемент заменяется на симметричный относительно главной диагонали.
Свойства операции транспонирования:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Обратная матрица
Пусть – квадратная матрица -го порядка. Матрицей, обратной к матрице называется квадратная матрица -го порядка , такая, что где – единичная матрица. Матрица, для которой существует обратная матрица, называется обратимой.
Для любой обратимой матрицы обратная матрица единственная. Ее обозначают . Таким образом,
. (2.2)