Решение задачи интегрирования (определенного интеграла)

Определенный и неопределенный интеграл.

Решение задачи интегрирования функции на каком-то отрезке – это нахождение точного значения площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией f(x), осью ОХ, и отрезком a-b.

Раньше, до решения математиками задачи интегрирования, площадь криволинейной фигуры находили путем деления ее на меньшие фигуры, площадь которых известна, например прямоугольники, а искомую площадь находили сложением площадей отдельных кусочков. Очевидно, что результат был приблизительным.

На рисунке выше показано, что площадь отдельного прямоугольничка равна произведению его высоты на ширину= f(a_i)*Δx. Где значение f(a_i) – значение функции в точке a_i. Δx – длина отрезка между точками a_i - a_i+1.

Геометрический смысл интегрирования функции на каком-то отрезке – нахождение площади криволинейной трапеции.

Физический смысл интегрирования заключается в том, что оно применимо когда требуется найти значение величины (например, Работу – А), значение которой зависит от переменной, которая сама меняется со временем или с расстоянием по какой-то по известной функции f(x).

Например, если сила F=const, работа равна произведению силы на время. A=F*t.

Но если сила F меняется со временем - F(t), то для нахождения суммарной работы за какое-то время необходимо проинтегрировать действие этой силы по времени. Что и является площадью криволинейной трапеции.

Математики решили эту задачу в общем виде.

Решена задача (теорема) Ньютона-Лейбница, в соответствии с которой

S –площадь криволинейной трапеции на отрезке а-в находится по следующей формуле:

Где f(x) – данная функция, F(x) – первообразная данной функции,

Первообразная функция от функции f(x) – это такая функция, что F’(x) = f(x): Первая производная функции F (x) есть f(x).

Например: f(x) = x² , F(x) = x³/3. Так как F’(x) = f(x).

Определенный интеграл:

Неопределенный интеграл – это когда пределы интегрирования не определены. Просто общая запись интеграла и функции.

(При необходимости вычисления площади фигуры, нужно следить, чтобы функция всегда находилась выше оси ОХ, а то площади взаимно вычтутся, и результат будет неправильным.)

!!! Таким образом, нахождение площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной от подинтегральной функции. Одним из способов является решение задачи по формуле Ньютона – Лейбница (нахождение первообразной данной функции).

Методы интегрирования:

1. Непосредственное интегрирование.

2. Интегрирование методом подстановки

3. Подведение под знак дифференциала

4. Интегрирование по частям.

Несомненно, основным методом нахождения первообразной функции является непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных и свойств неопределенного интеграла. Все другие методы используются лишь для приведения исходного интеграла к табличному виду.

Для решения задачи интегрирования нужно:

- знать свойства интегралов (адитивность, произведение, деление подинтегральных функций);

- уметь находить первообразные от функций или смотреть в справочнике;

- знать методы интегрирования, или слышать о них.

Остановимся на использовании формулы Ньютона-Лейбница для вычисления точного значения определенного интеграла, приведем решение характерных примеров.

Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a;b] , F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке. Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Рассмотрим практические примеры вычисления определенных и неопределенных интегралов: формула Ньютона-Лейбница имеет вид: .

То есть, для вычисления определенного интеграла нужно найти F(x) - первообразную функции f(x), такую, что F’(x) = f(x).

Например: f(x) = x² , тогда F (x) = x³/3. Т.к. F’(x) = (x³/3)’ = x².

Тогда на отрезке интегрирования а=3, b=8 решение будет выглядеть так:

S = F(8) – F(3) = 8³/3 – 3³/3 = 170,666 – 3 = 167,66666.

Значения первообразных многих функций приведены в справочниках и таблицах.

Ниже привожу часть таблицы первообразных:

Можно рассмотреть решение нескольких примеров, если нужно.