Некоторые типы иррациональных уравнений

Пусть далее некоторые выражения с неизвестной , .

I тип: . (1)

Возведение в ю степень приводит к равносильному уравнению

.

Уравнение (2)

после возведения в ю степень сводится к равносильному уравнению .

. (3)

Возведение в степень 2n приводит к уравнению-следствию

, (4)

Найденные корни уравнения (4) проверяют подстановкой в (3) и отбирают те из них, которые удовлетворяют уравнению (3).

Уравнение

, (5)

после возведения в степень 2n сводится к уравнению-следствию

. (6)

Корни уравнения (6) необходимо проверить подстановкой в уравнение (5).

II тип:

, (7)

где .

1 способ. Необходимо возвести уравнение (7) в квадрат. В определенных случаях следует один из корней перенести в правую часть уравнения. После упрощения полученное уравнение возводят в квадрат еще раз.

2 способ. Умножение уравнения (7) на сопряженное выражение

.

Отдельно проверяют, имеет ли решение уравнение h(x) = 0. Затем для h(x) ¹ 0 рассматривают систему

Сложение уравнений этой системы приводит к уравнению вида (3).

3 способ. Замена переменных

и переход к системе уравнений относительно u, v.

, (8)

где a, b Î R.

Возведением в куб обеих частей уравнение (8) сводится к уравнению

. (9)

Выражение в скобках (в левой части уравнения (9)) заменяют на , используя заданное уравнение. В итоге заданное уравнение (8) приводится к уравнению-следствию, которое снова возводят в куб.

Полученные таким образом решения необходимо проверить подстановкой в уравнение (8).

III тип. Уравнения, решаемые заменой переменной.

В результате замены может уменьшиться степень выражений, стоящих под корнями, что приведет к уменьшению степени рационального уравнения после избавления от корней.

Если уравнение имеет вид

, (10)

где F – некоторое алгебраическое выражение относительно , то заменой оно сводится к уравнению

. (11)

После решения уравнения (11) возвращаются к старой переменной и находят решения уравнения (10).

IV тип. Уравнения, решаемые исходя из арифметического смысла корней с четными показателями. В частности, решение уравнения

, (12)

где a > 0, b > 0, сводится к решению системы

V тип. Уравнения, решаемые функциональными методами и методами, основанными на ограниченности входящих в уравнение функций.

Решение уравнений основывается на следующих утверждениях.

1. Если и для всех , то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений

2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны и f(x) возрастает, а g(x) убывает для xÎX, то уравнение f(x) = g(x) имеет не больше одного решения на промежутке X. Если один корень подобрать, то других корней нет.

3. Если f(x) – возрастающая функция, то уравнение равносильно уравнению .

4. Если f(x) – возрастающая (убывающая) функция, то уравнение равносильно уравнению .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

.

Приводим подобные. При этом в левой части уравнения записываем корень, остальные слагаемые – в правой части:

.

Возводим полученное уравнение в квадрат еще раз.

Решая последнее квадратное уравнение, находим корни , которые теперь необходимо проверить. Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Первый корень не подходит.

Приходим к ответу: .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в куб:

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим выражение выражением . Получаем

.

Решаем совокупность уравнений

В результате замены выражения могут появиться посторонние корни, т.к. такое преобразование не является равносильным. Поэтому необходимо произвести проверку. Подставляем найденные значения и убеждаемся, что они являются корнями исходного уравнения.

Приходим к ответу:

Пример 3. Решить уравнение

.

Решение.Возведение уравнения в квадрат приводит к уравнению четвертой степени и громоздкому решению.

Нетрудно заметить, что в данном уравнении можно произвести замену. Но перед этим преобразуем уравнение следующим образом:

Заменив , получаем квадратное уравнение

.

Решая его, находим корни .

Возвращаемся к исходной неизвестной:

Первое уравнение решений не имеет, т.к. его левая часть неотрицательна, а правая – отрицательна. Второе уравнение возводим в квадрат. Получаем

, т.е. .

Его корни . С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят, т.е. приходим к ответу: .

Пример 4.Решить уравнение .

Решение.Способ 1. Перенесем второй корень вправо:

.

Возводим обе части в квадрат:

Еще раз возводим в квадрат и получаем квадратное уравнение, решая которое и получаем корни . Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Оба корня подходят.

Способ 2. Введем замену , тогда , . Таким образом получили более простое уравнение

, т.е. .

Возведем его в квадрат:

Возвращаемся к исходной неизвестной:

.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

, откуда .

При помощи проверки убеждаемся, что оба корня подходят.

Способ 3.Домножим обе части уравнения на выражение, сопряженное левой части исходного уравнения. Получим

Сложим последнее уравнение с исходным. Получим

, т.е. .

Последнее уравнение возводим в квадрат. Получаем квадратное уравнение

.

Решая его, находим корни .

Приходим к ответу: .

Пример 5.Решить уравнение .

Решение.Пусть . Тогда и , по условию.

Получили систему

Решая ее методом подстановки

Второе уравнение решим отдельно

;

;

;

.

Получаем корни

Возвращаемся к системе:

Получаем

Переходим к заданным неизвестным:

Решая последнюю совокупность, находим корни и . С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят.

Получили ответ: , .

При решении иррациональных уравнений, как правило, нахождение ОДЗ является бесполезным, т.к. проверка решений по ОДЗ недостаточна. Но существует ряд примеров, в которых нахождение ОДЗ является тем методом, который приводит к успеху. Покажем это на следующем примере.

Пример 6.Решить уравнение

.

Решение.Найдем ОДЗ данного уравнения:

Решаем последнюю систему неравенств (рис. 10)

Рис.10

Получили, что ОДЗ состоит из единственной точки .

Остается подставить значение в уравнение и выяснить, является ли оно решением:

.

Получили, что – решение.

Пример 7.Решить уравнение

.

Решение: Используем графический способ. Строим графики функций , (рис.11).

Рис.11

Из рисунка видно, что графики пересекаются в единственной точке x = 7. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Проверяем x = 7 подстановкой в заданное уравнение и убеждаемся, что это точное значение решения уравнения.

Получили ответ: x = 7.

Задания

I уровень

1.1. Определите, имеет ли уравнение корни:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

1.2. Решите уравнение:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ;

20) .

1.3. Решите уравнение:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ;

12) .

1.4. Решите уравнение графически:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

II уровень

2.1. Решите уравнение:

1) ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. .

III уровень

3.1. Решите уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

3.2. Решите уравнение:

1) ; 2) .