Угол между двумя плоскостями

А₁х+В₁y-C₁z+D₁=0 и А₂х+В₂y-C₂z+D₂=0 определяется по формуле

Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид:

= 0

Условие параллельности двух плоскостей имеет вид:

Расстояние от точки N (х₁,у₁, z₁) до плоскости Ax + By + Сz + D = 0 определяется по формуле

d =

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A (х₁,у₁, z₁), B(х₂,у₂, z₂), C(х₃,у₃, z₃). имеет вид

Прямая линия в пространстве.

Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид

где х₀,у₀, z₀ - координаты точки, через которую проходит пря­мая, а т, п и р -направляющие коэффициенты прямой, кото­рые являются проекциями на координатные оси Ох, Оу, Оz на­правляющего вектора прямой.

Если α, β и γ - углы между прямой и координатными осями Ох, Оу и Оz, то

cos а = ± ; cos β = ± ; cos γ = ± ;

называются направляющими косинусами пря­мой. Направляющие коэффициенты т, п и р можно рассматри­вать как проекции на координатные оси вектора, параллельного прямой, причем т, п и р не могут быть одновременно равны нулю.

В параметрическом виде уравнения прямой линии в про­странстве записываются так:

x =x₀ + mt; y =y₀ + nt; z =z₀ + pt

где t — параметр.

Общие уравнения прямой в пространстве:

Каждое из уравнений - уравнение плоскости, и таким образом прямая в пространстве может рассматриваться как пере­сечение двух плоскостей, причем плоскости эти предполагаются непараллельными, т. е. соотношение

не имеет места.

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

имеет вид

Условие перпендикулярности этих двух прямых имеет вид

mm₁ + nn₁ + pp₁ = 0

Угол между двумя прямыми определяется по фор­муле

Уравнения прямой, проходящей через две данныеточкиA (х₁,у₁, z₁), B(х₂,у₂, z₂) запишутся в виде

Плоскость и прямая

Острый угол между прямой и плоскостью

Ax + By + Сz + D = О определяется по формуле

Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид

Am + Bn + Ср = 0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую имеет вид:

Ax +By + Cz + D + λ(A₁ x +B₁ y + C₁ z+ D₁) =0

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1, 2, —1) перпендикулярно прямой

Решение:

Уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1, 2, -1), напишем на основании уравнения А(х-х₁)+В(у-у₁)+С(z-z₁)=0 в виде А(х-1)+В(у-2)+С(z+1)=0

Пользуясь условием перпендикулярности прямой и плоскости, заменив в последнем уравнении величины А, В и С им пропорциональными величинами т, п и р из уравнений пря­мой, т. е. числами 1, -3 и 4, и получим

1(х-1)-3(у-2)+4(z+1)= 0. а после упрощений получим x - 3у+4z+9=0.

Кривые второго порядка.

1. Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки. Уравнение окружности имеет вид

(х - а)² + (y - b)² = r²

где a и b—координаты центра окружности, a r—радиус ок­ружности.

Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

x² + y² = r²

2. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же по­стоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса

где а — большая полуось эллипса,b — малая полуось эллипса.

Если 2с — расстояние между фокусами, то между а, b и с (если а > b) существует соотношение

а² - b² = с².

Эксцентриситетом эллипса называется отношение, расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет е < 1 (так как с < о), а его фокусы лежат на большой оси.

3. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная вели­чина.Предполагается, что эта постоянная величинанеравна нулю и меньше,чем расстояние между фокусами.