Теоремы о равносильных уравнениях

Теорема 1.

Пусть на множестве Х дано уравнение f(x)=g(x). Если к обеим частям этого уравнения прибавить выражение р(х), определенное на множестве Х, то получим уравнение f(x) + p(x)= g(x) + p(x), равносильное данному на множестве Х.

Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие 2. Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Теорема 2.

Пусть на множестве Х дано уравнение f(x)=g(x). Если обе части этого уравнения умножить на выражение р(х), определенное на множестве Х и не обращающееся в 0 на нем, то получим уравнение

f(x)p(x)=g(x)p(x), равносильное данному на множестве Х.

Следствие. Если обе части уравнения умножить ( разделить ) на одно и то же число, не равное 0, то получим уравнение, равносильное данному.

Неравенство с одной переменной. Пусть на множестве Х даны выражения f(x) и g(x). Одноместный предикат вида f(x) g(x) называется неравенством с одной переменной. Значение переменной из множества Х, которое обращает предикат в истинное неравенство, называется решением неравенства.

Задачи относительно неравенств с переменной:

1 задача: решить неравенство, т.е найти все значения переменной из множества Х , каждое из которых обращает его в истинное высказывание;

2 задача: доказать неравенство, т.е. доказать, что любое значение переменной из множества Х обращает его в истинное высказывание.

Виды неравенств :строгие, нестрогие, одного смысла, противоположного смысла.

Равносильные неравенства. Два неравенства называют равносильными на множестве Х, если множества их решений из множества Х совпадают, т.е каждое решение первого неравенства является решение второго неравенства и наоборот. Если неравенства не имеют решений на множестве Х, то их тоже считают равносильными на множестве Х.
Пусть на множестве Х задано неравенство f(x) g(x). Если обе части этого неравенства умножить на выражение р (х), определенное на Х и принимающее на Х только положительные значения, то получим неравенство того же смысла f(x) p(x) g(x) p(x), равносильное данному на множестве Х. 3x-7?5x.

Решение - Если обе части неравенства умножить ( разделить ) на одно и то же положительное число, то получим неравенство того же смысла, равносильное данному.

Равносильность неравенств – два неравенства называют равносильными на множестве Х, если множества их решений из множества Х совподают. x?3 на N: T(1)={1,2}

2x+1?4+x T(2)={1,2}

(1)?=?(2)

N

5. Теоретические основы изучения нумерации в начальном курсе математики
Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе:5 в десят сис-ме;1110110 в 2-й;AF178 в 16-й и т. д.

Различают два типа систем счисления:

позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Так как десятичная система счисления поместная, то число зависит не только от записанных в нем цифр, но и от места записи каждой цифры.

Определение: Место записи цифры в числе называется разрядом числа.

Например, число состоит из трех цифр: 1, 0 и 3. Поместная, или разрядная, система записи позволяет из этих трех цифр составить трехразрядные числа: 103, 130, 301, 310 и двухразрядные числа: 013, 031. Приведенные числа расположены в порядке возрастания: каждое предыдущее число меньше последующего.

Следовательно, цифры, которые используются для записи числа, не определяют полностью это число, а служат только инструментом его записи.

Само число строится с учетом разрядов, в которых записана та или иная цифра, т. е. нужная цифр должна еще и занимать нужное место в записи числа.

Правило. Разряды натуральных чисел именуются справа налево от 1 к большему числу, каждый разряд имеет свой номер и место в записи числа.

Наиболее употребляемые числа имеют до 12 разрядов. Числа, имеющие более 12 разрядов, относятся к груп­пе больших чисел.

Количество занятых цифрами мест при условии, что цифра наибольшего разряда не 0, определяет разрядность числа. О числе можно сказать, что оно: однозначное (одноразрядное), например 5; двузначное (двухразрядное), например 15; трехзначное (трехраз­рядное), например 551, и т. д.

Кроме порядкового номера каждый из разрядов имеет свое наименование: разряд единиц (1-й), разряд десятков (2-й), разряд сотен (3-й), разряд единиц тысяч (4-й), разряд десятков тысяч (5-й) и т. д. Каждые три разряда, начиная с первого, объединены в классы. Каждый класс тоже имеет свой порядковый номер и наименование.

Например, первые 3 разряда (от 1-го до 3-го включительно) — это класс единиц с порядковым номером 1; третий класс — это класс миллионов, он включает 7-й, 8-й и 9-й разряды.

6. Теоретические основы изучения нумерации в начальном курсе математики.
КОНЦЕНТР МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА

Теория вопроса

Многозначные числа образуются и называются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятиекласса.

Класс объединяет три разряда.

Класс единиц - единицы, десятки и сотни. Это первый класс.

Класс тысяч– единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч. Это второй класс.

Класс миллионов – единицы миллионов, десятки миллионов и сотни миллионов. Это третий класс.

Правило чтения многозначных чисел:

Многозначные числа читают слева направо. Сначала разбивают число на классы, отсчитывая справа по три цифры. Чтение начинают с единиц старших классов. Единицы старших классов читают сразу как трехзначное число, добавляя затем название класса. Единицы I класса читают без добавления названия класса.

Если какой- то класс в записи числа не содержит значащих цифр, то его при чтении пропускают. Например: 123 000 324 – сто двадцать три миллиона триста двадцать четыре.

Понятие классявляется базовым для образования многозначных чисел. Все многозначные числа содержат 2 или более классов. Класс объединяет три разряда ( единицы, десятки и тысячи).

На письме при записи многозначных чисел принято делать промежуток между классами: 345 674, 23 458.

Правило записи многозначных чисел:

Многозначные числа записывают по классам, начиная с высших. Чтобы записать цифрами число поступают так: записывают группами единицы каждого названного класса, отделяя один класс от другого небольшим промежутком.

Классовый состав – выделениеклассных чисел в многозначном числе.

Разрядный состав– выделениеразрядных чисел в многозначном числе.

899 056

800 000 90 000 9 000 50 6

На основе разрядного состава рассматривают случаи разрядного сложения и вычитания

400 000 + 3 000, 534 000 - 30 000 , 20534 - 34, 672 000 – 600 000.

При нахождении значений этих выражений, опираются на разрядный состав многозначных чисел: число 340 000 состоит из 300 000 и 40 000, вычитая 40 000. получаем 300 000. ( 340 000 – 40 000=300 000).

Завершает изучение класса тысяч знакомство с числом миллион (1 000 000).

Десять сотен тысяч – это миллион.

Тысяча тысяч – это миллион.

Миллион – это единица нового класса- класса миллионов.

Миллион – первое семизначное число в ряду натуральных чисел.

1 000 000 – наименьшее семизначное число.

1 000 000 – новая счетная единица в десятичной системе счисления.

В записи числа 1 000 000 цифра 1 означает, что в VII разряде одна единица, а нули в разрядах сотен тысяч, десятков тысяч, единиц тысяч и т.д. означают, что в этих разрядах нет значащих цифр.

Завершает класс миллионов число 999 999 999. Следующее число 1 000 000 000 ( миллиард).