Понятие функции нескольких переменных

Область определения

Переменная z называется функцией двух переменных x и y, если каждой паре (x; y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторой области D соответствует определенное значение z: z = f(x; y).

Значение функции z = f(x; y) в точке M(x₀; y₀) обозначается z₀ = f(x₀; y₀) и называется частным значением функции.

Переменная величина и называется функцией трех переменных x, y, z, если каждому набору этих переменных соответствует единственное значение переменной u: u = f(x; y; z).

Будем пользоваться заданием функции, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.

Множество всех точек, в которых определена функция n переменных, называется областью определения функции.

Область определения находится из формулы функциональной зависимости путем соблюдения корректности выполнения соответ-
ствующих математических операций.

В случае двух переменных область определения функции z = f(x; y) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Oxy, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности.

Пример 1. Найти f(1; 2) для функции

Решение

Чтобы найти f(1; 2), надо в выражении для f(x; y) подставить x = 1, y = 2 и выполнить указанные в f действия.

Имеем:

Пример 2. Найти область определения функции и изобразить графически.

Решение

Эта функция двух переменных определена, когда выражение под знаком квадратного корня неотрицательно, т. е. 4 – х² – y² ³ 0 или
x² + y² £ 4. Последнему соотношению удовлетворяют координаты всех точек, находящихся внутри круга радиусом R = 2 с центром в начале координат и на его границе. Область определения данной функции – указанный круг (рисунок 40).

Рисунок 40

Пример 3. Найти область определения функции и изобразить графически.

Решение

Данная функция определена на интервале [–1; 1], т. е.

или

Неравенства y² ³ x и y² ³ –x задают часть плоскости, расположенную вне обеих парабол одновременно. Отметим, что точка (0; 0) не входит в искомую область определения.

Найденное множество точек, являющееся областью определения заданной функции, штриховкой показано на рисунке 41.

Рисунок 41

Пример 4. Найти область определения функции и изобразить графически.

Решение

Область определения функции находится как решение неравенства

или

Это неравенство описывает внутреннюю часть эллипса (рисунок 42).

Рисунок 42

Тест 1.Значение функции f(x) в точке (2; 1) равно:

1) 7;

2) –5;

3) –1;

4) 1;

5) –2.

Тест 2.Область определения функции является:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 3.Указать функцию двух переменных:

1)

2)

3)

4)

5)

Предел функции

Число называется пределом функции z = f(x; y) в точке M₀(x₀; y₀), если для любого числа e > 0 найдется число d > 0, зависящее от e, такое, что для всех точек M(x; y), отстоящих от M₀ не более чем на d, выполняется неравенство

Записывают:

На функции нескольких переменных легко переносятся все положения теории пределов функции одной переменной, в частности, справедлива теорема, представленная ниже.

Теорема

1)

2)

3) , если

Пример 5. Найти предел

Решение

Пример 6.Найти предел

Решение

Имеем неопределенность вида Раскроем эту неопределенность. Избавимся от иррациональности в числителе

Пример 7.Вычислить

Решение

Имеем неопределенность вида Находим

так как

Пример 8. Вычислить

Решение

Имеем неопределенность вида Выражение, стоящее под знаком предела, преобразуем к такому виду, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом

Пример 9.Вычислить

Решение

Данная функция определена всюду на координатной плоскости Oxy, кроме точки O(0; 0). Рассмотрим предел этой функции при стремлении точки M(x; y) к началу координат по любой прямой, проходящей через точку O, т. е. вдоль линии (k ¹ 0)

Получили, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Итак, соответствующим разным значениям k получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке O(0; 0) не существует.

Тест 4.Вычислить предел (4ху – 1):

1) –3;

2) 0;

3) –8;

4) –9;

5) –10.

Тест 5.Вычислить

1) ;

2) 0;

3) 2;

4) 5;

5) .