Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 7 страница

б) L₂: y² = 4 - 4x Û

;

в)

Как видим , значение криволинейного интеграла по различным линиям , соединяющим одни и те же точки , здесь одинаково .

Как будет установлено ниже , это обстоятельство является характерным для ряда случаев .

Пусть в некоторой области D плоскости хОу определены и непрерывны функции Р(х,у) и Q(х,у) .

Возьмём в этой области любые две точки А и В .

Будем соединять взятые точки различными линиями L , целиком лежащими в области D , и по ним вычислять криволинейный интеграл

.

Мы получим различные значения интеграла .

Но пример , рассмотренный выше , показывает , что в некоторых случаях криволинейный интеграл может иметь одинаковые значения вдоль всех кривых, соединяющих фиксированные точки А и В .

Если значения криволинейного интеграла по всевозможным линиям , целиком лежащим в данной области D и имеющим общее начало и общий конец , одинаковы , то говорят , что этот интеграл в области D не зависит от формы пути интегрирования .

Возникает , таким образом , вопрос : при каких условиях криволинейный интеграл II рода не зависит от формы пути L интегрирования , а зависит только от положения начальной и конечной точек А и В этого пути ( т.е. зависит исключительно от начальной и конечной точек линии интегрирования ).

К выявлению этих условий мы и перейдём .

Теорема 3.4.1.

Для того , чтобы криволинейный интеграл

не зависел от пути интегрирования в некоторой области D , необходимо и достаточно , чтобы он равнялся нулю по любому замкнутому контуру , целиком лежащему в этой области .

Доказательство .

а.Необходимость условия .

Пусть интеграл не зависит от пути интегрирования ( в некоторой области D)

Докажем , что в таком случае этот интеграл = 0 по любому замкнутому контуру , целиком лежащему в области D .

Возьмём в области D произвольный замкнутый контур АВСЕА .

Имеем : ( т.к. интеграл не зависит от пути интегрирования – по сделанному допущению , т.е. ).

Следовательно , .

б.Достаточность .

Теперь пусть , наоборот , дано , что интеграл (3.1) по любому замкнутому контуру , целиком находящемуся в области D , = 0 .

Докажем , что этот интеграл не зависит от формы пути интегрирования .

Рассмотрим в области D замкнутый контур АВСЕА .

Имеем:

Теорема 3.4.2.

Пусть функции Р(х,у) и Q(х,у) определены и непрерывны вместе со своими частными производными в замкнутой ограниченной односвязной области D .

Тогда , для того чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L , лежащему в области D , не зависел от пути интегрирования , необходимо и достаточно , чтобы во всех точках области D выполнялось условие :

. (3.22)

Замечание.

Здесь существенно , что область D односвязна , т.е. “ без дырок ” (ограничена только одной замкнутой линией ). В противном случае теорема в случае достаточности неверна , т.е. для многосвязанной области эта теорема ( в общем случае ) не имеет места .

Доказательство .

а.Необходимость .

Пусть криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования .

Тогда ( по теореме 3.4.1 ) интеграл по любому замкнутому контуру в области D = 0 .

Покажем , что тогда в каждой точке области D выполняется равенство .

Будем доказывать это методом от противного . Пусть условие (3.22) не выполняется хотя бы в одной т. М( х₀ ;у₀) Î D , т.е.

.

Пусть для определённости

.

Частные производные непрерывны , по условию , в т.М ; следовательно , разность их также непрерывна в т.М .

А значит существует такая окрестность D¹ т. М , во всех точках которой выполняется неравенство

( включая и контур области D¹).

.

Тогда по формуле Грина имеем :

по свойству двойных интегралов .

по теореме 1 .

L¹ – граница области D¹ .

По теореме 1 . Пришли к противоречию ( левая часть > 0 ; правая = 0 ).

Значит предположение , что

хотя бы в одной точке области D , неверно .

Отсюда вытекает , что во всех точках области D .

Достаточность .

Пусть в области D ( во всех точках) выполняется условие . Возьмём в области D произвольный замкнутый контур Z₁ и применим к нему формулу Грина

,

где D₁ – область , ограниченная контуром L₁ .

по условию (3.I) .

Отсюда .

По теореме 1 заключаем , что криволинейный интеграл в области D не зависит от пути интегрирования .

Вывод .

Условие независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования :

1)

2) .

Если своевременно установить , что криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования , то , выбрав в качестве пути интегрирования путь, заданный наиболее простым уравнением , можно значительно упростить вычисление криволинейного интеграла .

Пример 3.4.1

, где L – дуга окружности с центром в начале координат , соединяющей точки А(1;0) и В(0;1) .

Следовательно , данный криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования .

В качестве пути интегрирования возьмём ломаную АОВ .

Замечание .

Если будет время , то можно вычислить этот интеграл по дуге окружности. Только уравнение окружности взять

3.5. Механические приложения криволинейных интегралов

Пусть скалярная величина P(L) ( масса , заряд, количество теплоты и т.п.) распределена на кривой L с линейной плотностью , тогда

.

Если -плотность распределения массы на кривой L и r(m) – расстояние точки mÎL до некоторой плоскости или прямой Q , то интегралы

называются моментами порядка k кривой L относительно соответствующей плоскости или прямой . Формально можно сказать , что масса кривой L является моментом нулевого порядка кривой L относительно любой плоскости для прямой . Моменты первого порядка называются статическими моментами , моменты второго порядка – моментами инерции .

Используя запись массы как момента нулевого порядка , выпишем формулы для вычисления координат х₀ , у₀ , z₀ центра масс кривой L с плотностью r :

.

Пример 3.5.1 . Найти момент инерции кривой

с плотностью r(x,y,z) = z относительно плоскости XZ .

Так как расстояние точки m = (x,y,z) от плоскости XZ есть .Для данной кривой имеем :

Следовательно ,

Пример 3.5.2 Найти работу , производимую силой вдоль L (рис. 3.19).

Решение .L: ABC , где А(1,1) , В(3,1),С(3,5).

АВ : у = 1 ; 1 < x < 3 ;

ВС : х = 3 ; 1 < x < 5

АС: у = 2х – 2 , dy = 2dx

Работа , производимая силой вдоль L

.

Упражнения .

Задание 1 . Используя формулу Грина вычислить следующие интегралы ( L- пробегаемый в положительном направлении контур):

1.1 L: от точки А(1;3) до В(2;4)

1.2 L: от точки А(0;0) до В(1;1)

1.3 L: треугольник ОАВ , где О(0;0), А(0;1) ,В(1;1)

1.4

1.5 L: треугольник АВС , где А(1;1) ,В(2;2), С(1;3)

Задание 2. Вычислить криволинейные интегралы второго рода от заданных функций по данным линиям в указанных направлениях :

2.1 L: отрезок прямой от точки А(1;2;-1) до точки В(3;3;2)

2.2 L: дуга кривой x = t , y = t² , z = t³ , 0 £ t £ 1

2.3 L: отрезок прямой от точки А(2;1;0) до точки В(4;3;1)

2.5 L: отрезок прямой от точки А(1;0;2) до точки В(2;-1;0)

2.6 L: дуга кривой

Задание 3. Найти работу , производимую силой вдоль указанного пути L:

3.1 L: отрезок прямой от точки А(0;1) до точки В(1;2)

3.2 L: ломаная АВС , где А(1;1) , В(3;1),С(3;5)

3.3 L: дуга ху = 1, от точки А(1;1) до В(4;1/4)

3.4 L: эллипс

3.5 L: эллипс

3.6 Тестовые задания для самостоятельной работы

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением . f (x , y)= x ; L : y=ln x ; 1 x 2

Ответы: 1) 2) 3)

4)

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением . f (x , y) = y ; L : y = 2x от точки А(0;0) до точки В(2; 2)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением . f (x , y) = ; L : отрезок прямой соединяющий точки A ( 0;-2) и B (4;0)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением .

f (x , y) = ; L : -отрезок прямой соединяющий точки О (0;0) и A(1;2)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением .

f (x , y) = x+2y ; L : отрезок прямой от точки A(1;1) до точки B(5;3)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением .

f (x, y) = 2x-y ; L : отрезок прямой соединяющий точки A(2;2) и B(1;-3)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением .

f (x, y) = x ; L : y = x , 0 x 4

Ответы: 1)12 2)14 3)16 4)18

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением .

; L : x + y = a , x 0, y 0

Ответы: 1) 2) 3) 4)

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением .

; L : дуга x + y = x - y ; x 0 , y 0

Ответы: 1) 2) 3) 4)

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением .

; L : дуга кривой x + y = z , y = ax

Ответы:1) 2) 3) 4)

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением .

L : x + y = ax

Ответы: 1) 2) 3) 4)

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением .

; L : x + y = R

Ответы: 1) 2) 3) 4)

1. Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f( x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

; L : первый виток винтовой линии x = 2cos t , y = 2sin t , z = t

Ответы: 1) 1 2) -1 3) 10 4)0

1. Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f( x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

; L : первая арка циклоиды x = a(t – t sin t) , y = a(1 – cos t)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

1. Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f( x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

; L – первый виток винтовой линии x = a cos t , y = a sin t , z = bt

Ответы: 1) 2) 3) 4)

1. Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f( x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

; L : часть винтовой линии x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 t 2

Ответы: 1) 2) 3) 4)