Производные показательной и логарифмической функций

Найти производные функций:

1)

Воспользуемся формулой: .

.( т.к. , где , поэтому ).

2)

производная произв. произв.

показательной ф-и косинуса аргумента

3)

.

4)

.

5)

Берем производную от степенной, потом логарифмической, подлогарифмической функций:

.

6)

Используем формулу для дифференцирования произведения двух функций.

.

7)

Используем формулу для дифференцирования частного функций:

.

8)

Чтобы облегчить вычисление производной, рекомендуется выполнить логарифмирование.

Перепишем условие:

9)

Избавимся от иррациональности:

10)

Перепишем в виде: , тогда .

11)

Преобразуем условие:

Логарифмическое дифференцирование

применяется, когда нужно продифференцировать:

1) функцию вида (т.е. когда и основание и показатель степени являются функциями х);

2) произведение нескольких функций;

3) дробь, числитель и знаменатель которой содержат произведения;

4) функцию, содержащую корни из дробей.

В таких случаях удобно сначала обе части выражения прологарифмировать по основанию е, а потом дифференцировать.

Найти производные функций:

1)

Прологарифмируем обе части равенства: .

Теперь найдем производные обеих частей равенства. Так как y – функция от х, то ln y – сложная функция и . Итак, , т.е.

Умножив обе части равенства на у, получим . Подставим вместо у его значение из условия, т.е. , получим ответ: .

4)

5)

6)

. Еще раз прологарифмируем обе части равенства:

. Производные обеих частей:

. Вычислим отдельно производные правой и левой части:

Левая часть: Правая часть:

, т.е.

, тогда

Дифференцирование функций, заданных неявно

Найти производные функций:

1)

Данное уравнение не разрешено относительно у. В таком случае, у называют неявной функцией х.

Дифференцируем обе части равенства по х, учитывая, что у есть функция х, и из полученного уравнения определяем .

т.е. раскроем скобки: перенесем слагаемые, содержащие в левую часть: тогда

2)

Находим производные левой и правой частей. Т.к. у – функция от х, то производная как производная сложной функции.

И вообще .

Это выражение можно немного упростить. Умножим числитель и знаменатель дроби на х, и вместо подставим (из условия).

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Производная функции, , заданной параметрически, вычисляется по формуле: .

Пример.Найти производную функции, заданной параметрически:

Найдем производные каждой функции по t:

.

Подставим полученные выражения в формулу .