Коническая кривая (эллипс, парабола или гипербола)

Формулы из аналитической геометрии на плоскости

Расстояние между двумя точками и

Наклон линии, соединяющей две точки и

Уравнение линии, соединяющей две точки и

где пересечение на оси, т.e. пересечение.

Уравнение линии в условиях пересекает и пересекает

Нормальная форма уравнения линии

где = перпендикулярное расстояние от центра к линии
и α = Угол наклона перпендикуляра
с положительной осью.

Общее уравнение линии

Расстояние от точки к линии

где знак выбирается так, что расстояние не отрицательно.

Угол между двумя линиями, имеющими наклоны и

Линии параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда
Линии перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Площадь треугольника с вершинами в

Площадь

где знак выбран так, что площадь является неотрицательной. Если площадь равна нулю, все точки лежат на одной прямой.

Преобразование координат при перемещении

x = x' + x0 y = y' + y0

or

x' = x - x0 y' = y - y0

где (x, y) называются старыми координатами [т.e. координаты относительно xy системы], (x',y') новые координаты [относительно x'y' системы] и (x₀, y₀) координаты нового центра 0' относительно старой xy координатной системы.

Преобразование координат при вращении

x = x' cosα - y' sinα y = x' sinα + y' cosα

or

x' = x cosα + y sinα y' = y cosα - x sinα

где центры старой [xy] и новой [x'y'] координатной системы те же самые, но x' ось образовывает угол α с положительной x осью.

Преобразование координат при перемещении и вращении

x = x' cosα - y' sinα + x0 y = x' sinα + y' cosα + y0

or

x' = (x - x0)cosα + (y - y0)sinα y' = (y - y0)cosα - (x - x0)sinα

где новый центр O' координатной системы x'y' имеет координаты (x₀, y₀) относительно старой xy координатной системы и ось x' образовывает угол α с положительной осью x .

Полярные координаты (r, θ)

Точка P может быть определена прямоугольными координатами (x, y) или полярными координатами (r, θ). Преобразование между этими двумя координатами:

x = r cosθ

y = r sinθ

or

θ = tan^-1(y/x)

Уравнение окружности

Уравнение окружности радиуса R, с центром в (x₀,y₀)

(x - x₀)² + (y - y₀)² = R²

Уравнение окружности радиуса R , проходящей через центр координат

r = 2R cos(θ — α)

где (θ, α) полярные координаты любой точки на окружности и (R, α) полярные координаты центра окружности.

Коническая кривая (эллипс, парабола или гипербола)

Если точка P движется так, что расстояние от фиксированной точки [называемой фокусом] разделенное этим расстоянием от фиксированной линии [называемой директриссой] есть постоянной e [называется эксцентриситет], тогда кривая, описываемая P называется конической[она называется так потому, что такие кривые могут быть получены в результате пересечения плоскости и конуса под различными углами].

Если фокус выбран в начале координатO уравнение конической кривой в полярных координатах (r, θ) есть, если OQ = p и LM = D,

Коническая кривая есть

(i) эллипсом если ε < 1

(ii) параболой если ε = 1

(iii) гиперболой если ε > 1.

Эллипс с центром в и большей осью, параллельной ось

Длина большей оси
Длина малой оси
Расстояние от центра к фокусу или есть

Эксцентриситет =
Уравнение в прямоугольных координатах:

Уравнение в прямоугольных координатах если есть в :

Уравнение в прямоугольных координатах если на оси и в :

Если есть любая точка на эллипсе,
Если большая ось параллельна оси, меняем местами и вверху или заменяем на [или ]

Парабола с осью, параллельной ось

Если вершина в и расстояние между к фокусу есть , уравнение параболы есть следующее, если парабола открыта справа

Если парабола открыта слева

Если фокус находится в центре координат, уравнение в полярных координатах есть

В случае, если ось параллельна оси, меняя и или заменяя на [или ].

Гипербола с центром и большей осью, параллельной к ось

Длина большой оси
Длина малой оси
Расстояние от центра к фокусу или есть

Эксцентриситет =
Уравнение в прямоугольных координатах:

Наклоны асимптоты и
Уравнение в полярных координатах, если в :

Уравнение в полярных координатах, если на оси и в :

Если в любой точке на гиперболе, [в зависимости от ветки]
Если большая ось параллельна оси, меняя и вверху или заменяя на [или ]