Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола

Поверхность, образованная вращением линии вокруг оси, называется поверхностью вращения.

При соответствующем выборе прямоугольной декартовой системы координат в пространстве уравнение поверхности вращения можно привести к одному из видов:

1. Эллипсоид.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

Уравнение Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru называется каноническим уравнением эллипсоида.

Величины Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru - полуоси эллипсоида. Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид является поверхностью вращения. Если Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru , эллипсоид представляет собой сферу.

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

Поверхности Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru и Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru называются сжатым и вытянутым эллипсоидами вращения.

y
вытянутый
сжатый
y
z
x
x
z
Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

Если Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru , эллипсоид представляет собой сферу с центром в начале координат радиуса R: Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

2. Однополосный гиперболоид. Двухполосный гиперболоид.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

и

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru .

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

Гиперболоид, определяемый уравнением Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru , называется однополосным гиперболоидом.

Гиперболоид, определяемый уравнением Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru , называется двухполосным гиперболоидом.

3. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

и

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru ,

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

где Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru - положительные числа, называемые параметрами параболоида.

Параболоид, определяемый уравнением Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru , называется эллиптическим параболоидом.

Параболоид, определяемый уравнением Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru , называется гиперболическим параболоидом.

11 Плоскость в пространстве различные формы её задания

12 Уравнение прямой проходящие через 2 точки. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между 2 прямыми

Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x1, y1) и B(x2, y2), записывается так:

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru

A1x + B1y + C1 = 0

A2x + B2y + C2 = 0

то угол φ между ними вычисляется по формуле:

Уравнения кривых второго порядка на плоскости: окружость, эллипс, парабола, гипербола - student2.ru (народ в знаменателе вместо б 1 квадрат нужно а 2 квадрат и вместо а 2 квадрат б 1 квадрат)

Или tg(w)=(А1В2-А2В1)\(А1А2+В1В2) –дробью

Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид

А1А2+В1В2=0

Условие параллельности

А1\А2=В1\В2≠С1\С2

Пример:

4. Найти угол между двумя прямыми х+у-9=0 и х-6у+5=0

Тангенс фи=(1*(-6)-1*1)\(1*1+1*(-6))=7\5

Фи=арктангенс (7\5)

5. Доказать что прямые 3х-15у+16=0 и 6х-30у+13=0 параллельны

3\6=-15\-30≠16\13 следовательно параллельны

6. 30х+6у+6=0 и 6х-30у+13=0 доказать перпендикулярность

30*6+6*(-30)=0 следовательно перпендикулярны

Условия перпендикулярности и параллельности соблюдаются, т к тождества верны

Наши рекомендации