Сложение матриц (только одинаковых размеров)

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Матрицы

Матрицы и основные понятия, связанные с ними

Определение. Матрицей, размером называется прямоугольная таблица чисел вида, состоящая из строк и столбцов.

Матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита , …

.

Матрица размера (читается «эм на эн») содержит чисел, называемых элементами данной матрицы.

При этом a_ij – это элемент матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца.

i-я строка матицы целиком обозначается, как правило, то есть

j-ый столбец матрицы обозначается т.е.

Таким образом, матрицу A можно коротко записать 3-мя способами:

1. , i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n (как набор элементов);

2. (как столбец строк высоты );

3. (как строка столбцов длины ).

Например: – одна из матриц , где

=2, = , .

Определение.Множество матриц размера обозначается .

Матрицы несут две основные функции:

1) это удобная форма хранения и переработки информации;

2) матрица задает отображение одного пространства в другое т.е.

Определение.Матрицы А и В одного размера называютсяравными, если они совпадают поэлементно:

, i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.

Виды основных матриц:

1) нулевая матрица – матрица произвольного размера, состоящая из нулей:

.

2) матрица-строка – матрица, состоящая из одной строки:

3) матрица –столбец– матрица, состоящая из одного столбца:

4) квадратная матрица – матрица, состоящая из одинакового количества строк и столбцов:

.

В этом случае вместо «матрица размера » говорят «матрица порядка ».

Определение.Говорят, что элемент квадратной матрицы лежит на главной диагонали, если . Схематично изображают так: .

Определение.Следом квадратной матрицы назывется сумма элементов, стоящих на главной диагонали.

Определение.Говорят, что элемент квадратной матрицы лежит на побочной диагонали, если . Схематично изображают так: .

5) Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, вне главной диагонали, равны нулю.

6) Единичная матрица– диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы.

– единичная матрица размера 4 4.

7) Верхнетреугольная матрица – матрица у которой все элементы под главной диагональю равны 0, то есть , если .

8) Нижнетреугольная матрица (самостоятельно)

Первый слева ненулевой элемент строки называется ее разрешающим элементом.

Замечание. Нулевая строка не имеет разрешающих элементов.

9) Ступенчатая матрица – матрица у которой для любой пары соседних строк ( , ) номера столбцов разрешающих элементов и удовлетворяют условию .

Замечание. Верхнетреугольная матрица является ступенчатой.

10) Симметрическая матрица – квадратная матрица, все элементы которой удовлетворяют условию .

Операции над матрицами

Сложение матриц (только одинаковых размеров)

Определение.Суммой матриц и (одинакового размера) называется матрица , элементы которой равны сумме элементов матриц и , стоящих на соответствующих местах: , ( , ).

Пример. .

Свойства:

1. – коммутативность (от перестановки слагаемых – сумма не меняется);

2. – ассоциативность;

3. существование нейтрального элемента – нулевой матрицы.

Для всякой матрицы существует нулевая матрица, такая что

.

4. существование противоположного элемента

Для всякой матрицы существует матрица, обозначаемая , (полученная из матрицы изменением знаков всех элементов на противоположные ), такая что

.

Доказательство всех свойств очевидным образом вытекает из соответствующих свойств для чисел.