Системы линейных уравнений и неравенств

Системой m линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂, ¼, x_n называется система вида

(1)

где а_ij и b_i – действительные числа (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений системы (1).

Матрица А = составленная из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется матрицей системы (1).

Матрица-столбец В = составленная из свободных членов уравнений системы (1), называется столбцом свободных членов системы (1).

Матрица системы (1), дополненная столбцом свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей системы (1):

А_В =

Пример 1. Для системы линейных уравнений

матрица системы – А = расширенная матрица системы – А_В =

Тест 1. Для системы линейных уравнений матрица системы имеет вид:

1) А =

2) А =

3) А =

4) А =

5) А =

Тест 2. Для системы линейных уравнений расширенная матрица системы имеет вид:

1) А_B =

2) А_B =

3) А_B =

4) А_B =

5) А_B =

Решением системы уравнений (1) называется упорядоченная совокупность n чисел (l₁; l₂; ¼; l_n), при подстановке которых вместо
х₁, х₂, …, х_n соответственно (х₁ = ₁; х₂ = ₂; …; х_n = _n) каждое уравнение системы (1) обращается в верное равенство.

Пример 2. Определить, является ли упорядоченная совокупность чисел (1; 3) решением системы линейных уравнений

Решение

Подставим в каждое уравнение данной системы вместо х₁ первое число из данной упорядоченной совокупности, а вместо х₂ – второе. Первое и второе уравнения обратятся в верные равенства

1 + 3 = 4,

2 × 1 – 3 = –1.

А третье уравнение – нет: –1 + 3 ¹ 1.

Следовательно, упорядоченная совокупность чисел (1; 3) не является решением данной системы линейных уравнений.

Ответ: нет.

Тест 3. Определить, является ли упорядоченная совокупность чисел (1; 2; 3) решением системы линейных уравнений

1) да;

2) нет.

Тест 4. Определить, является ли упорядоченная совокупность чисел (0; –1) решением системы линейных уравнений

1) да;

2) нет.

Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной.

Теорема (правило Крамера). Пусть Δ – определитель матрицы системы n линейных уравнений с n неизвестными х₁, х₂, …, х_n. Если Δ ¹ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам

х₁ = ; х₂ = ; …; х_{n =} ,

где – определитель, полученный из определителя Δ заменой в нем j-го столбца столбцом свободных членов системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

1)

2)

3)

Решение

1. Уравнений в системе – 2, а неизвестных – 3. Так как правило Крамера применимо только для систем, у которых число уравнений и число неизвестных совпадают, то данную систему решить по правилу Крамера нельзя.

Ответ: правило Крамера неприменимо.

2. Уравнений в системе – 2, неизвестных – 2. Матрица данной системы имеет вид А = Составим Δ – определитель матрицы системы: Δ =

Найдем его значение, используя правило вычисления определителей матрицы второго порядка: Δ = = = 2 – 2 = 0.

Так как Δ = 0, то решить данную систему по правилу Крамера нельзя.

Ответ: правило Крамера неприменимо.

3. Уравнений в системе – 2, неизвестных – 2. Матрица данной системы имеет вид А = Составим Δ – определитель матрицы системы: Δ =

Найдем его значение, используя правило вычисления определителей матрицы второго порядка: Δ = = 1 × (–1) – 2 × 3 = –1 – 6 = –7 ¹ 0.

Итак, нам дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными и Δ ¹ 0. Значит, к данной системе правило Крамера применимо.

Применим его. Так как по правилу Крамера х₁ = х₂ = найдем значения Δ₁ и Δ₂. Определитель Δ₁ получается из определителя Δ заменой в нем 1-го столбца столбцом свободных членов системы. Столбец – столбец свободных членов системы. Следовательно, Δ₁ = = = 1 – 8 = –7.

Определитель Δ₂ получается из определителя Δ заменой в нем 2-го столбца столбцом свободных членов системы. Следовательно,

Δ₂ = = = 4 + 3 = 7.

Тогда: х₁ = = х₂ = =

Ответ: (1; –1).

Тест 5. При решении системы линейных уравнений по правилу Крамера определитель Δ имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 6. При решении системы линейных уравнений по правилу Крамера определитель Δ₁ имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 7. При решении системы линейных уравнений по правилу Крамера определитель Δ₂ имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 8. При решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными х₁ и х₂ по правилу Крамера получены значения: Δ = 4, Δ₁ = 8, Δ₂ = 2. Система имеет решение:

1) (8; 2);

2) ( ; 2);

3) (4; 8; 2);

4) (8; 2; 4);

5) (2; ).

Тест 9.Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

1) (2; –1);

2) правило Крамера неприменимо;

3) (1; 2);

4) (2; 1);

5) (1; 1).

Тест 10. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

1) (2; –1);

2) правило Крамера неприменимо;

3) (1; 2);

4) (2; 1);

5) (1; 1).

Тест 11. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

1) (1; 1; 1);

2) (0; 1; 1);

3) (0; 0; 1);

4) (1; 0; 1);

5) правило Крамера неприменимо.

Две системы уравнений называются эквивалентными, или равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Любые две несовместные системы считаются эквивалентными.

Тест 12. Ступенчатая система, эквивалентная исходной системе линейных уравнений, имеет вид

Решением исходной системы является:

1) (0; 1);

2) (1; 2);

3) (2; 1);

4) (1; 1);

5) (–1; 0).

Тест 13. Ступенчатая система, эквивалентная исходной системе линейных уравнений, имеет вид

Решением исходной системы является:

1) (4; 9);

2) (4; 1);

3) (1; 4);

4) (9; 4);

5) (9; 1).

Линейным неравенством с двумя неизвестными х, у называется неравенство вида: ax + by + c £ 0 или ax + by + c £ 0, где a, b, c – действительные числа.

Решением линейного неравенства с двумя неизвестными х, у называется всякая упорядоченная пара действительных чисел (l₁; l₂), в результате подстановки которых вместо х, у соответственно неравен-
ство превращается в верное числовое неравенство.

С геометрической точки зрения пару действительных чисел (l₁; l₂), являющуюся решением линейного неравенства с двумя неизвестными х, у, можно рассматривать как координаты точки плоскости Оху.

Областью решений линейного неравенства с двумя неизвестными х, у называется множество точек плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют этому неравенству.

Теорема. Областью решений линейного неравенства с двумя неизвестными х, у вида ax + by + c ³ 0 служит одна из двух полуплоскостей, на которые всю плоскость Оху делит прямая ax + by + c = 0, включая и эту прямую, а другая полуплоскость вместе с той же прямой является областью решений неравенства ax + by + c £ 0.

Пример 4. Построить область решений неравенства х + у + 2 ³ 0.

Решение

х + у + 2 ³ 0

1. На плоскости Оху построим прямую х + у + 2 = 0 по двум точкам (рисунок 19): если х = 0, то у = –2, имеем точку (0; –2); если х = 2, то
у = –4, имеем точку (2; –4).

2. Возьмем произвольную точку, не лежащую на прямой х + у + 2 = 0.

Применяя теорему, имеем:

1) если координаты взятой точки удовлетворяют неравенству х + у +
+ 2 > 0, то искомой будет полуплоскость, содержащая взятую точку;

2) если координаты взятой точки не удовлетворяют неравенству
х + у + 2 > 0, то искомой будет полуплоскость, не содержащая взятую точку.

у

02 х

–2

–4 х + у + 2 = 0

Рисунок 19

Возьмем, например, точку (0; 0). Подставим ее координаты в неравенство х + у + 2 > 0. Получим 0 + 0 +2 > 0 или 2 > 0 – верное неравенство. Следовательно, искомой будет полуплоскость, содержащая точку (0; 0).

Теорема. Область решений системы линейных неравенств с двумя неизвестными есть пересечение (общая часть) полуплоскостей, каждая из которых есть область решения соответствующего неравенства системы.

Тест 14.Решением неравенства является полуплоскость:

1) 2)

3) 4) 5)

Тест 15.Решением неравенства х ³ 0 является полуплоскость:

1) 2) 3)

4) 5)

Тест 16. Решением системы линейных неравенств является часть плоскости:

1) 2) 3)

4) 5)

Ответы на тестовые задания

Номер теста
Правильный ответ

Номер теста
Правильный ответ

Комплексные числа

Комплексным числом z называется выражение вида z = а + bi, где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, i² = –1.

Если а = 0, то число 0 + bi = bi называется чисто мнимым; если
b = 0, то число а + 0i = а отождествляется с действительным числом а.

Таким образом, множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. R Ì С.

Для комплексного числа z = a +bi число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается а = Rez, а число b – мнимой частью комплексного числа z и обозначается b = Imz.

Пример 1. Для комплексного числа z определить Rez и Imz:

а) z = 2 + 5i;

б) z = 1 – 3i;

в) z = 2;

г) z = 5i;

д) z = i.

Решение

а) Rez = 2, Imz = 5;

б) так как z = 1 – 3i = 1 + (–3)i, то Rez = 1, Imz = –3;

в) так как z = 2 = 2 + 0i, то Rez = 2, Imz = 0;

г) так как z = 5i = 0 + 5i, то Rez = 0, Imz = 5;

д) так как z = i = 0 + 1i, то Rez = 0, Imz = 1.

Тест 1. Мнимая часть Imz комплексного числа z = 5 + 4i равна:

1) 9;

2) 5;

3) 4;

4) (–4);

5) 1.

Тест 2. Мнимая часть Imz комплексного числа z = 7 – i равна:

1) 7;

2) 1;

3) 0;

4) (–1);

5) (–7).

Тест 3. Действительная часть Rez комплексного числа z = –4i равна:

1) –4;

2) 0;

3) 4;

4) 1;

5) (–1).

Два комплексных числа z₁ = а₁ + b₁i и z₂ = а₂ + b₂i называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, т. е. а₁ = а₂, b₁ = b₂. В частности, комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = b = 0.

Пример 2. Указать, какие из комплексных чисел являются равными: z₁ = 2 + 3i; z₂ = 2 + 5i; z₃ = 1 + 3i; z₄ = –1 + 3i; z₅ = 2 + 3i.

Решение

Среди данных комплексных чисел выбираем сначала те, которые имеют равные действительные части: z₁, z₂, z₅. Так как при этом Imz₁ =
= Imz₅ = 2, Imz₂ = 5, то равными являются комплексные числа z₁ и z₅.

Ответ: z₁ = z₅.

Тест 4. Даны комплексные числа: z₁ = 2 + 3i; z₂ = 4 – i; z₃ = 3 + 2i; z₄ = –4 + i; z₅ = 4 + i; z₆ = 4 – i; z₇ = 2 – 3i; z₈ = 4 – i; z₉ = 3 – 2i. Среди них равными являются:

1) z₁ = z₃ = z₇ = z₉;

2) z₇ = z₉;

3) z₂ = z₅ = z₆ = z₈;

4) z₂ = z₄;

5) z₂ = z₆ = z₈.

Два комплексных числа z = а + bi и = а – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Пример 3. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 7 – i.

Решение

Сопряженным к данному комплексному числу будет комплексное число = 7 + i.

Ответ: = 7 + i.

Тест 5. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 2 + 3i:

1) = 2 – 3i;

2) = –2 – 3i;

3) = –2 – 3i;

4) = 2 + 3i;

5) = 3 + 2i.

Тест 6. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 3i:

1) = 3i;

2) = 0;

3) = –3i;

4) = 1;

5) = –1.

Запись числа z в виде z = а + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Если z₁ = а + bi, z₂ = с + di, то

z₁ + z₂ = (а + bi) + (с + di) = а + bi + с + di = (а + с) + (b + d)i; (1)

z₁ – z₂ = (а + bi) – (с + di) = а + bi – с – di = (а – с) + (b – d)i. (2)

Пример 4. Даны два комплексных числа z₁ = 2 + i и z₂ = 4 – 3i. Найти их сумму и разность.

Решение

В соответствии с формулами (1), (2) при а = 2, b = 1, с = 4, d = –3 получаем

z₁ + z₂ = (2 + i) + (4 – 3i) = 2 + i + 4 – 3i = (2 + 4) + (1 – 3)i = 6 – 2i;

z₁ – z₂ = (2 + i) – (4 – 3i) = 2 + i – 4 + 3i = (2 – 4) + (1 + 3)i = –2 + 4i.

Ответ: 6 – 2i; –2 + 4i.

Тест 7. Сумма комплексных чисел z₁ = 1 + i и z₂ = 2 – 2i равна:

1) 4 – i;

2) 3 – i;

3) 5 + i;

4) 5;

5) 3 + i.

Тест 8.Разность комплексных чисел z₁ = 3 + i и z₂ = 4 – 2i равна:

1) –1 – i;

2) 1+ i;

3) 1 – 3i;

4) –1 + 3i;

5) 1 – i.

Рассмотрим плоскость с декартовой прямоугольной системой координат Оxy. Всякое комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой М(a; b) на плоскости Оxy такой, что а = Rez, b = Imz. И, наоборот, каждую точку М(a; b) координатной плоскости Оxy можно рассматривать как образ комплексного числа z = a + bi (рисунок 20).

Рисунок 20

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней изображены действительные числа z = a +0i = а. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней изображены чисто мнимые комплексные числа z = 0 + bi = bi.

Пример 5.На комплексной плоскости изобразить число z = 2 – 3i.

Решение

Для данного комплексного числа а = Rez = 2, b = Imz = –3. На координатной плоскости Оxy (рисунок 21) число z = 2 – 3i изображается точкой М(2; –3).

Рисунок 21

Комплексное число z = а + bi, заданное в алгебраической форме, можно представить и в другом виде. Изобразим число z точкой М(а; b) комплексной плоскости. Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рисунок 22).

Рисунок 22

Тест 9. Указать, на какой комплексной плоскости точка М является изображением комплексного числа z = –5 + 2i:

1) 2) 3)

4) 5)

Тест 10. Указать, на какой комплексной плоскости точка М является изображением комплексного числа z = –2i:

1) 2) 3)

4) 5)

Модулем комплексного числа z = а + bi называется длина радиуса-вектора точки М(а; b), изображающей данное число.

Обозначение: или r.

Из прямоугольного треугольника ОМа (рисунок 22) по теореме Пифагора Следовательно, или
r

Пример 6. Найти модуль комплексного числа z = 1 – 3i.

Решение

Для данного комплексного числа а = 1, b = –3. Следовательно,

= =

Ответ: .

Тест 11. Модуль комплексного числа z = 4 + 3i равен:

1) 25;

2) 5;

3) 7;

4) 49;

5) 24.

Тест 12. Модуль комплексного числа z = –i равен:

1) –1;

2) 0;

3) 1;

4) 2;

5) 5.

Тест 13. Модуль комплексного числа z = 4 равен:

1) –1;

2) 0;

3) 1;

4) 4;

5) 2.

Аргументом комплексного числа z = а + bi называется величина угла φ (рисунок 22) между положительным направлением действительной оси Ох и вектором r, изображающим комплексное число. Обозначение: аrgz или φ.

Аргумент (главное значение аргумента) комплексного числа заключен в промежутке [0; 2π).

Множество аргументов числа z обозначается Аrgz и Аrgz = аrgz +
+ 2πk, k Î Z.

С помощью модуля r и аргумента φ комплексное число z = а + bi можно представить в другом виде. Так как а = r cosφ, b = r sin φ (рисунок 22), то z = а + bi = r cosφ + r sinφi или z = r (cosφ + i sinφ), где

r = (3)

cosφ = , sin φ = . (4)

Запись числа z = а + bi в виде z = r (cosφ + i sinφ), где r – модуль, а φ – аргумент числа z, называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Пример 7. Представить комплексное число z = –1 + i в тригонометрической форме.

Решение

z = –1 + i – алгебраическая форма комплексного числа z, при этом а =
= –1, b = 1. Применяя формулы (3), (4), находим r = =
= cosφ = sinφ =

Так как cosφ = sinφ = и φ Î [0; 2π), то φ = Следовательно, тригонометрическая форма данного числа z имеет вид

z =

Ответ: z =

Тест 14. Тригонометрическая форма комплексного числа z =
= имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 15. Тригонометрическая форма комплексного числа z = –1 имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Два комплексных числа z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) и z₂ = r₂(cosφ₂ + i sin φ₂), заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π, т. е. z₁ = z₂ Û r₁ = r₂, φ₁ = φ₂ + 2 πk, k Î Z.

Пример 8. Указать, какие из комплексных чисел являются равными: z₁ = z₂ =

z₃ = z₄ =

Решение

Среди данных комплексных чисел выбираем сначала те, которые имеют равные модули: z₁, z₃, z₄.Так как φ₁ = φ₃ =
φ₄ = то равными являются комплексные числа z₁ и z₃.

Ответ: z₁ = z₃.

Тест 16. Даны комплексные числа z₁ = z₂ =
= z₃ = z₄ =
= 4 + Среди них равными являются:

1) z₁ = z₂;

2) z₁ = z₃;

3) z₁ = z₄;

4) z₂ = z₃;

5) z₃ = z₄.

Формула Эйлера имеет следующий вид:

(5)

Данная формула может быть записана в виде

(6)

Из формул (5) и (6) следует

сos .

Используя формулу (5), комплексное число z = r(cosφ + i sinφ) можно записать в виде z = rе^iφ, называемом показательной (или экспоненциальной) формой комплексного числа z.

Пример 9. Представить комплексное число z = i sin в показательной форме.

Решение

z = + i sin – тригонометрическая форма комплексного числа z, при этом r = , φ =

Поэтому показательная форма данного числа z имеет вид z = e

Ответ: z = e

Тест 17. Показательная форма комплексного числа z = 2 +
+ i sin имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 18.Показательная форма комплексного числа z = –1 + i имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Ответы на тестовые задания

Номер теста
Правильный ответ
Номер теста
Правильный ответ

Раздел II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ