Смешанная краевая задача на отрезке с закрепленными концами (решение методом Фурье)

Рассмотрим ограниченную струну:	будем решать методом разделения переменных: будем искать частные решения уравнения в виде произведения двух функций: Метод Фурье: Ищем u(x,t) в виде: Подставляем в уравнение: Делим на (для того чтобы тождество выполнялось, приравниваем его некоторой произвольной константе)
Получаем два уравнения:	* - это уравнение второго порядка с двумя граничными условиями, это краевая задача с тривиальным решением, но она имеет не только тривиальное решение при некоторых λ. Это задача на собственные значения. Это задача Штурмана-Лиувилля. Решим её. рассмотрим три случая: 1. λ<0 – не подходит, т.к. собственные значения должны быть не отрицательными.
2. λ=0: решение будет следующее: , выберем те, которые удовлетворяют краевым условиям: получили тривиальное решение, оно нас не интересует, поэтому этот случай тоже не подходит. 3. λ>0: , выберем те, которые удовлетворяют краевым условиям: (полагаем В равным единице) решение задачи на собственные значения. В этом решении каждому собственному значению соответствует решение задачи для Т: получили бесконечное множество решений задачи. Т.к. это однородные и линейные уравнения, то решения можно складывать и умножать на числа. Т.о.: . Остались не выполненными начальные условия: домножим обе части на и интегрируем , аналогично: Задача решена. Проанализируем полученный результат. Введём следующие величины: , решение тогда запишется: Сn – амплитуда колебаний – частота колебаний, - фаза колебаний Наше решение – суперпозиция двух волн – стоячая волна, например, звук - сумма бесконечного числа стоячих волн, с соответствующей частотой, фазой и амплитудой, зависит от параметров струны: - длина струны, , - основной тон струны, ωn – обертон, громкость зависит от C1 и D1. профиль колебания волны – стоячая волна.

7. Смешанная краевая задача (задача Коши) .

Рассмотрим линейную задачу о колебаниях среды: Разбиваем задачу на три, каждая из которых вызывает одну причину: начальное отклонение, граничные возмущения, внешние силы, т.е.
1) Учитываем граничные условия: подбираем u1 таким, что бы оно удовлетворяло граничным условиям: В силу линейности оставшиеся два решения удовлетворяют однородным граничным условиям.	2) Учитываем начальные условия, не учитываем правую часть: ищем u2 такое, которое удовлетворяет однородному уравнению и однородным граничным условиям, а также получим новые начальные условия: Мы получили однородную задачу для u2 с неоднородными начальными условиями. Её решение в вопросе 8.	3) Учитываем начальные условия, не учитываем правую часть: ищем u3 такое, что бы оно удовлетворяло неоднородному уравнению, и получаем для него нулевые условия: Мы разделили задачу таким образом, что сумм этих трёх частей удовлетворяет исходным уравнению и условиям.

Рассмотрим решения задач 2 (ВОПРОС 8!) и 3 по отдельности:

3)	Воспользуемся т. с. зн. , если решение существует, то - разложили решение в ряд по собственным значениям, коэффициенты разложения ( - самосопряженный оператор):
удовлетворяет уравнению: неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, начальные условия получаем исходя из начальных условий задачи. , тогда решение этого уравнения (метод вариации постоянных):