Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка

Квадратная матрица Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru называется обратной по отношению к матрице Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru , если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу приводит к единичной матрице.

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Если Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru , то матрица называется невырожденной.

Теорема. Любая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную ей матрицу.

Нахождение обратной матрицы называется обращением данной матрицы.

Для обращения матрицы можно воспользоваться формулой:

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru , где Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Например, обратить матрицу второго порядка Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru .

Решение.

Вычисляем определитель данной матрицы:

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Находим алгебраические дополнения элементов:

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Составляем союзную и обратную матрицы

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru , Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Проверка:

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Матричные уравнения и их решения.

Определение: Уравнение вида AX=B называется матричным.

Для решения матричного уравнения обе части уравнения умножаются слева на матрицу Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru , то есть

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru ; Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru ; Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Систему n линейных уравнений с n переменными

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru можно перевести в матричное уравнение AX=B, где А – матрица коэффициентов при переменных; Х – матрица – столбец переменных; В – матрица – столбец свободных членов.

Решив составленное матричное уравнение, то есть вычислив элементы матрицы Х, тем самым получаем решение данной системы.

Например, решить систему матричным методом.

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Решение:

Обозначим Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru , Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru , Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

1. Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru следовательно матрица имеет обратную.

2.

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Из алгебраических дополнений составим матрицу Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

3. Транспонируем матрицу Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru :

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

4. Вычислим обратную матрицу по формуле: Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

5. Вычислим матрицу Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru , то есть решение системы (4; 2; 1).

Ответ: (4; 2; 1).

В конце решения системы (любым способом) рекомендуется сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедится в том, что они обращаются в верные равенства.

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Элементы аналитической геометрии

Координаты вектора в пространстве.

Действия над векторами в координатной форме

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Пусть M(x; у; z) – координаты точки в пространстве.

Выберем: Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru – единичные векторы на соответствующих осях координат:

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Всякий вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации единичных векторов Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru :

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru ,

где Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru – координаты вектора в пространстве.

Длина вектора Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru вычисляется по формуле Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru .

Рассмотрим две точки пространства: Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru и Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru .

Найдем координаты вектора Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru :

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Таким образом, Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru – координаты вектора Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru Длина вектора Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru определяется по формуле Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru .

Справедливо следующее утверждение:

пусть Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru и Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru тогда

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru ,

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru ,

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru .

Пример 1.

Найти расстояние между точками А и В, если известно, что А(–2;3;1) и В(2;1;5).

Решение:

1. Найдем координаты вектора Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru :

Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

2. Вычислим длину вектора Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru : Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Ответ: 6.

Пример 2.

Найти длину вектора Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru если Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru .

Решение:

1. Обозначим: Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

2. Найдем координаты вектора Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

3. Найдем координаты вектора Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

4. Вычислим длину вектора Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка - student2.ru

Ответ: 3.

Наши рекомендации