Капельной жидкости в трубопроводе

Рассмотрим теперь общий случай проявления инерционных свойств потока. Предположим, что течение капельной жидкости с плотностью Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru и скоростью Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru происходит в трубопроводе с площадью поперечного сечения Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru (рис. 12.3). Пусть в некотором сечении Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru трубопровода возникает произвольное изменение Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru скорости этого течения, например, замедление потока или, наоборот, его ускорение. Что происходит при этом?

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru

Рис. 12.3. Схема распространения волны давления

Слои жидкости, идущие сзади, тормозятся и сжимают слои жидкости, идущие впереди. При сжатии давление возрастает от значения Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru до Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru , плотность жидкости увеличивается от значения Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru до Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru ; площадь сечения трубопровода также увеличивается от значения Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru до Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru , а фронт волны Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru , на котором происходит сжатие, распространяется с некоторой скоростью Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru вверх по течению.

Конечно, относительные изменения Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru плотности жидкости и Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru - площади сечения трубопровода малы, однако оказывается, что те и другие совершенно необходимо учитывать для адекватного описания рассматриваемого процесса.

Вычислим относительные изменения Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ruплотности жидкости и площади Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru поперечного сечения трубопровода.

Относительное изменение Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru плотности упругой жидкости при изменении давления на величинуКапельной жидкости в трубопроводе - student2.ruможно вычислить на основе уравнения состояния жидкости, которое, как известно, имеет вид (см. п.2 гл.2):

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru .

Из этого уравнения следует, что

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru , (12.2)

где Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru модуль упругости нефти (Па) (для нефти Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru Па).

Пример. Плотность Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru нефти при давлении 0,1 МПа равна 870 кг/м3. Какова ее плотность Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru при давлении 6,5 МПа и той же самой температуре?

Решение. Используя формулу (12.2), получаем:

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru кг/м3.

Отсюда видно, что увеличение 5 кг/м3 плотности нефти мало по сравнению с первоначальной плотностью 870 кг/м3.

Относительное изменение Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru площади сечения трубопровода при изменении давления на величинуКапельной жидкости в трубопроводе - student2.ruможно вычислить приближенным методом, предложенным Н.Е. Жуковским (рис. 12.4). Согласно этому методу, рассмотрим равновесие верхней половины трубы (на рис. 12.4 выделена утолщенной линией) под действием разности давлений Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru и окружных напряжений Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru , возникающих в металле трубы.

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru

Рис. 12.4. К выводу формулы изменения площади поперечного сечения трубопровода при изменении давления

Горизонтальная равнодействующая сил давления равна, естественно, нулю, а вертикальная равнодействующая равна произведению разности Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru внутреннего и внешнего давлений на проекцию криволинейной стенки на горизонтальную ось.

Таким образом, уравнение равновесия имеет вид:

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru , (*)

где Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru толщина стенки. Изменениями окружного напряжения Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru по радиусу, а также уменьшением толщины стенки пренебрегаем. Кроме того, считаем, что толщина стенки много меньше диаметра трубопровода, т.е. Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru .

Деформация Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru срединного волокна (на рис. 12.4 оно обозначено пунктирной линией) равна относительному удлинению этого волокна:

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru .

Тогда согласно закону упругости Гука, имеем:

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru , (**)

где Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru модуль Юнга материала трубы (для стали Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru Па).

Подставив Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru из (**) в (*) и заменив Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru в коэффициентах на Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru в силу малости толщины стенки по сравнению с диаметром трубы, получим формулу для приращения Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru диаметра трубы в зависимости от разности Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru внутреннего и внешнего давлений:

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru . (12.3)

Из формулы (12.3) следует выражение для абсолютного Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru и относительного Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru изменений площади поперечного сечения трубопровода в зависимости от изменения Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ruдавления:

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru или Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru . (12.4)

Замечание. При выводе этих формул методом Н.Е. Жуковского предполагалось, что при расширении трубы существуют только радиальные напряжения, а осевые - отсутствуют. В действительности это не всегда так, и в общем случае формула (12.3) имеет вид:

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru , Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru

где Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru коэффициент Пуассона (второй коэффициент упругости в законе Гука). Аналогично изменяются и формулы (12.4):

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru , Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru . ( Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru )

Однако коэффициент Пуассона стали мал Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru , поэтому для расчетов часто используют формулы (12.3) и (12.4):

Пример. Рассчитать увеличение внутреннего диаметра и площади сечения стального нефтепровода ( Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru мм, Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru мм) после того, как в нем подняли давление на 5,0 МПа.

Решение. Воспользовавшись формулами (12.3) и (12.4 ), получаем:

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru м Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru мм.

Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru м2 Капельной жидкости в трубопроводе - student2.ru 3,3 см2.

Как и следовало ожидать, увеличение площади поперечного сечения трубопровода на 3,3 см2 мало по сравнению с первоначальной площадью 2074 см2.

Наши рекомендации