Общее исследование функции
Под полным исследованием функции обычно понимается решение таких вопросов:
- Определение области существования функции.
- Выявление вопроса о четности и нечетности функции.
- Определение точек разрыва функции.
- Определение асимптот графика функции.
- Определение интервалов возрастания и убывания функции.
- Определение экстремума функции.
- Определение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции.
- Определение точек перегиба.
- Нахождение пересечения с осями координат.
- Построение графика функции.
Пример. Исследуем функцию 
D (y) = ( 
). Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.
Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
Точек разрыва нет.
Вертикальных асимптот нет; 
, наклонных асимптот нет.
5, 6. 
. Критические точки х = -2, х = 0.
| х | (  ) | -2 | (-2, 0) | (  ) | |
Знак  | + | = 0 | - |  | + |
| Поведение функции | Возрастает | max 3  | Убывает | min | Возрастает |
7, 8. 
, 
при х = 1, 
не существует при х = 0.
| х | (  ) | ( 0, 1) | (  ) | ||
| Знак | - | =  | - | = 0 | + |
| Поведение функции | Выпукла верх | Не является точкой перегиба | Выпукла верх | Точка перегиба у = 6 | Выпукла вниз |
9. 
х =0 и х = -5.
10.
Задание 1
1. Вычислить определитель матрицы А второго порядка
2. Вычислить определитель матрицы В третьего порядка
3. Вычислить определитель матрицы В, разложив его по какой-либо строке и какому либо столбцу
4. Вычислить определитель матрицы В, пользуясь свойствами определителей. Свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению одного определителя второго порядка
| Вариант 1 | ||||||||||||||||
| A = | ( | -3 | -6 | ) | B = | ( | -1 | ) | ||||||||
| -5 | ||||||||||||||||
| -2 | -4 | |||||||||||||||
| Вариант 2 | ||||||||||||||||
| A = | ( | ) | B = | ( | -1 | -4 | -4 | ) | ||||||||
| -9 | -3 | -4 | -1 | |||||||||||||
| -1 | -2 | |||||||||||||||
| Вариант 3 | ||||||||||||||||
| A = | ( | -1 | ) | B = | ( | -5 | -3 | ) | ||||||||
| -1 | -8 | -4 | -4 | |||||||||||||
| -3 | -1 | |||||||||||||||
| Вариант 4 | ||||||||||||||||
| A = | ( | -10 | -7 | ) | B = | ( | -1 | -2 | ) | |||||||
| -3 | ||||||||||||||||
| -5 | -5 | |||||||||||||||
| Вариант 5 | ||||||||||||||||
| A = | ( | ) | B = | ( | -4 | -4 | -1 | ) | ||||||||
| -5 | -1 | -3 | ||||||||||||||
| -5 | ||||||||||||||||
| Вариант 6 | ||||||||||||||||
| A = | ( | -8 | -1 | ) | B = | ( | ) | |||||||||
| -3 | -2 | -4 | ||||||||||||||
| -4 | -3 | |||||||||||||||
| Вариант 7 | ||||||||||||||||
| A = | ( | -8 | ) | B = | ( | -3 | -1 | ) | ||||||||
| -9 | -8 | -2 | ||||||||||||||
| -2 | -1 | |||||||||||||||
| Вариант 8 | |||||||||||
| A = | ( | -6 | ) | B = | ( | -4 | ) | ||||
| -1 | -1 | -1 | |||||||||
| -4 | -3 | ||||||||||
| Вариант 9 | |||||||||||
| A = | ( | -2 | ) | B = | ( | -2 | ) | ||||
| -5 | -4 | -1 | |||||||||
| Вариант 10 | |||||||||||
| A = | ( | -4 | -9 | ) | B = | ( | -1 | -5 | ) | ||
| -5 | -3 | -5 | |||||||||
| -2 | -4 |
Задание 2
1. Решить методом Крамера систему уравнений Ах = а
2. Решить методом Крамера систему уравнений Вx = b
3. Решить методом Гаусса систему уравнений Вx = b
| Вариант | ||||||||||||||||||
| B = | ( | -3 | ) | b= | ( | ) | ||||||||||||
| A = | ( | ) | a= | ( | -5 | ) | -1 | -8 | ||||||||||
| -1 | -2 | -1 | -3 | |||||||||||||||
| Вариант | ||||||||||||||||||
| B = | ( | -4 | -3 | ) | b= | ( | ) | |||||||||||
| A = | ( | ) | a= | ( | ) | -1 | -5 | |||||||||||
| -4 | -2 | -6 | -2 | -9 | ||||||||||||||
| Вариант | ||||||||||||||||||
| B = | ( | -4 | ) | b= | ( | -5 | ) | |||||||||||
| A = | ( | -4 | -1 | ) | a= | ( | -1 | ) | -1 | -2 | ||||||||
| -1 | -3 | -3 | -3 | -2 | -1 | |||||||||||||
| Вариант | ||||||||||||||||||
| B = | ( | -5 | -4 | ) | b= | ( | ) | |||||||||||
| A = | ( | -2 | -3 | ) | a= | ( | -5 | ) | -2 | |||||||||
| -4 | -16 | -3 | ||||||||||||||||
| Вариант | ||||||||||||||||||
| B = | ( | -1 | -5 | ) | b= | ( | ) | |||||||||||
| A = | ( | -5 | ) | a= | ( | ) | -2 | -3 | ||||||||||
| -4 | -5 | -4 | -3 | |||||||||||||||
| Вариант | ||||||||||||||||||
| B = | ( | -1 | -5 | ) | b= | ( | ) | |||||||||||
| A = | ( | ) | a= | ( | ) | -3 | ||||||||||||
| -1 | -9 | -4 | ||||||||||||||||
| Вариант | ||||||||||||||||||
| B = | ( | -2 | -1 | ) | b= | ( | -8 | ) | ||||||||||
| A = | ( | -5 | ) | a= | ( | -5 | ) | -3 | -4 | |||||||||
| -5 | -4 | |||||||||||||||||
| Вариант | ||||||||||||||||||
| B = | ( | -2 | ) | b= | ( | ) | ||||||||||||
| A = | ( | -3 | -2 | ) | a= | ( | -1 | ) | -4 | |||||||||
| -4 | -5 | -1 | ||||||||||||||||
| Вариант | ||||||||||||||||||
| B = | ( | -3 | -2 | ) | b= | ( | -11 | ) | ||||||||||
| A = | ( | -1 | -4 | ) | a= | ( | ) | -4 | -5 | -14 | ||||||||
| -1 | -1 | -5 | -10 | |||||||||||||||
| Вариант | ||||||||||||||||||
| B = | ( | -3 | ) | b= | ( | -5 | ) | |||||||||||
| A = | ( | ) | a= | ( | -14 | ) | -5 | -1 | ||||||||||
| -1 | -7 | -2 | -1 | |||||||||||||||
Задание 3.
1. Решить матричным методом систему уравнений Ах = а
2. Решить матричным методом систему уравнений Вx = b
| Вариант | |||||||||||||||||||
| B = | ( | -3 | ) | b= | ( | ) | |||||||||||||
| A = | ( | -1 | ) | a= | ( | ) | -2 | -12 | |||||||||||
| -3 | -2 | ||||||||||||||||||
| Вариант | |||||||||||||||||||
| B = | ( | -1 | ) | b= | ( | ) | |||||||||||||
| A = | ( | -5 | -3 | ) | a= | ( | ) | -2 | -4 | ||||||||||
| -2 | -5 | -1 | -13 | ||||||||||||||||
| Вариант | |||||||||||||||||||
| B = | ( | -3 | -3 | ) | b= | ( | -6 | ) | |||||||||||
| A = | ( | -3 | -5 | ) | a= | ( | ) | -1 | |||||||||||
| -6 | -4 | -5 | -3 | ||||||||||||||||
| Вариант | |||||||||||||||||||
| B = | ( | -3 | -5 | ) | b= | ( | ) | ||||||||||||
| A = | ( | -1 | ) | a= | ( | -1 | ) | -1 | -2 | ||||||||||
| -5 | -5 | -2 | -2 | -5 | |||||||||||||||
| Вариант | |||||||||||||||||||
| B = | ( | ) | b= | ( | -5 | ) | |||||||||||||
| A = | ( | ) | a= | ( | -3 | ) | -5 | -3 | -1 | ||||||||||
| -2 | -2 | -7 | |||||||||||||||||
| Вариант | |||||||||||||||||||
| B = | ( | -3 | ) | b= | ( | -6 | ) | ||||||||||||
| A = | ( | -2 | ) | a= | ( | ) | -4 | -3 | |||||||||||
| -4 | -6 | -5 | |||||||||||||||||
| Вариант | |||||||||||||||||||
| B = | ( | -3 | -2 | ) | b= | ( | ) | ||||||||||||
| A = | ( | -4 | -4 | ) | a= | ( | -4 | ) | -4 | -5 | -5 | ||||||||
| -5 | -5 | -2 | -2 | ||||||||||||||||
| Вариант | |||||||||||||||||||
| B = | ( | -4 | ) | b= | ( | ) | |||||||||||||
| A = | ( | -2 | ) | a= | ( | -21 | ) | -3 | |||||||||||
| -2 | -11 | -3 | -4 | ||||||||||||||||
| Вариант | |||||||||||||||||||
| B = | ( | -3 | ) | b= | ( | -15 | ) | ||||||||||||
| A = | ( | ) | a= | ( | -4 | ) | -3 | -16 | |||||||||||
| -1 | -1 | -5 | |||||||||||||||||
| Вариант | |||||||||||||||||||
| B = | ( | -3 | ) | b= | ( | -2 | ) | ||||||||||||
| A = | ( | -1 | ) | a= | ( | -7 | ) | -2 | |||||||||||
| -5 | -3 | -2 | -2 |
Задание 4.
Вычислить ранг матрицы.
1. 
, 2. 
;
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8 
9. 
10. 
Задание 5
Даны две вершины треугольника Δ АВС: А (х1,у1), В (х2,у2) и точка D (x3,y3)пересечения высот:
а) составить уравнение высот, медиан, биссектрис треугольника Δ АВС.
б) найти уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных сторонам.
в) определить длины высот треугольника и расстояние от точки М (х4, у4) до сторон треугольника.
| n | x1 | y1 | x2 | y2 | x3 | y3 | x4 | y4 |
| 1. | ||||||||
| 2. | ||||||||
| 3. | ||||||||
| 4. | ||||||||
| 5. | -2 | |||||||
| 6. | ||||||||
| 7. | ||||||||
| 8. | ||||||||
| 9. | ||||||||
| 10. | -3 |
Задание 6.
Даны координаты вершин пирамиды АВСD: А (х1,у1,z1), В (х2,у2,z3) ,C (x2,y2,z2) ,D (х4, у4,z3)
Найти:
1) длину ребра АВ;.
2) угол между ребрами АВ и АD;
3) угол меду ребром AD и гранью ABC;
4) площадь грани ABC;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой AB;
7) уравнение плоскости ABC;
8) уравнение высоты, опущенной из вершиныD на грань ABC.
| n | x1 | y1 | z1 | x2 | y2 | z2 | x3 | y3 | z3 | x4 | y4 | z4 |
| 1. | -5 | |||||||||||
| 2. | -1 | |||||||||||
| 3. | -5 | -3 | ||||||||||
| 4. | -2 | -3 | -1 | |||||||||
| 5. | -6 | -6 | ||||||||||
| 6. | -1 | |||||||||||
| 7. | -3 | -5 | -4 | |||||||||
| 8. | -2 | -3 | -1 | |||||||||
| 9. | -12 | |||||||||||
| 10. | -3 | -6 |
Задание 7.
1. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношений расстояние до точки А (3,0) и до прямой х = 12 равно ε = 0,5 полученное уравнение привести к простейшему виду и построить прямую.
2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношений расстояние до точки А (-3,4) равно расстоянию до прямой у = 2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить прямую.
3. Показать, что 
есть уравнение окружности. Найти ее центр и радиус.
4. Написать уравнение окружности, проходящей через точки: (0,1), (2,0), (3,1).
5. Гипербола проходит через точки (3, 
) и ( 
,3). Найти уравнение гиперболы.
6. Найти уравнение асимптот гиперболы 
.
7. Найти острый угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.
8. Дана равнофокусная гипербола 
. Найти уравнение эллипса, фокусы которого находится в фокусах гиперболы, если известно, что эллипс проходит через точку А (4,6).
9. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее находится в начале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось Ох.
10. Парабола симметрична относительно оси Ох , проходит через точку А (4,-1), а вершина ее лежит в начале координат. составить ее уравнение.
Задание 8. Найти область определения функции
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 9.Построить график функции
1. 
2. 
3. 
4 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 10 .Найти пределы функции
1.а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
, д) 
2.а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
, д) 
3.а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
, д) 
4. а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
, д) 
5.а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
, д) 
6.а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
, д) 
7. а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
, д) 
8.а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
, д) 
9.а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
, д) 
10.а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
, д) 
Задание 11. Найти производную
1. 
, б) 
,
в) 
, г) 
, д) 
, е) 