Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия на плоскости

Аналитическая геометрия на плоскости

Пример 1.Построить прямые:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

а) Для построения прямой достаточно знать координаты двух ее произвольных точек. Полагая в уравнении , получим . Точка лежит на прямой. Полагая , получим . Вторая точка . Проводим прямую (рис. 4.1).

О Рис. 4.1

Задачу можно решить иначе, используя уравнение прямой в отрезках. Приведем уравнение к виду (4.5). Для этого перенесем свободный член (-6) в правую часть уравнения и обе его части разделим на 6. Получим: ; ; . На оси отложим 2 единицы вправо от точки . На оси отложим 6 единиц вниз.

Получим точки и на осях, через которые проведем прямую.

б) Прямая проходит через точку .

О Рис. 4.2

Полагая , получаем , . Точка лежит на прямой. Проводим прямую через точки и (рис. 4.2).

в) Разрешим уравнение относительно , получаем . Это прямая, параллельная оси , отсекает на оси отрезок, равный .

г) Запишем уравнение в виде . Эта прямая параллельна оси .

Пример 2.Уравнение прямой представить в различных видах (с угловым коэффициентом, в отрезках).

Решение. Для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом разрешим заданное уравнение относительно . Получим , - уравнение прямой с угловым коэффициентом: здесь ; .

Для получения уравнения в отрезках на осях координат перенесем свободный член в правую часть и разделим обе части уравнения на (-12). Получим , - уравнение в отрезках: здесь ; .

Пример 3.Составить уравнение прямой, проходящей через точку

а) под углом 135⁰ к оси ;

б) параллельно оси ;

в) перпендикулярно вектору ;

г) и точку .

Решение.

а) Будем искать уравнение прямой с угловым коэффициентом, т.е. уравнение вида (4.6). По условию . Значит . Параметр найдем из условия принадлежности точки искомой прямой. Подставляя координаты точки в уравнение, получим , . Уравнение искомой прямой имеет вид .

б) Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси имеет вид .

в) Чтобы записать уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором , воспользуемся уравнением (4.2):

;

.

г) Используем уравнение (4.3). Полагая , ; , , получим ;

;

или .

Пример 4.Найти уравнение прямой, проходящей через точку :

а) параллельно прямой ;

б) перпендикулярно этой же прямой.

Решение. Будем искать уравнение прямой в виде . Прямая проходит через точку , значит , . Уравнение искомой прямой приобретает вид: . Осталось найти .

а) Если прямая параллельна прямой , то , так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны (1.8). Значит или .

б) Если прямая перпендикулярна прямой , то по условию (4.9). Значит или .

Пример 5. Найти расстояние от точки пересечения двух прямых и до биссектрисы первого координатного угла.

Решение. Найдем точку пересечения данных прямых. Для этого решим систему по формулам Крамера:

; ;

; , т.е. .

По формуле (4.11) находим расстояние до прямой или - биссектрисы первого координатного угла:

.

Пример 6.Даны вершины треугольника , , . Составить уравнения:

а) стороны ;

б) медианы, проведенной из вершины ;

в) высоты, опущенной из вершины на сторону . Найти угол между медианой и высотой.

Решение.

а) Уравнение стороны данного треугольника найдем с использованием формулы (4.3): , ; , : ; ;

: .

б) Чтобы составить уравнение медианы , найдем координаты точки - середины отрезка :

, ,

т.е. .

По формуле (4.3) , ; , , имеем

; ;

: .

в) Высота из вершины есть прямая, перпендикулярная и проходящая через точку . Вектор является нормальным вектором высоты. Воспользуемся уравнением (1.2):

; : .

Угол между медианой и высотой найдем по формуле (1.7). Угловой коэффициент медианы из уравнения медианы:

; .

Угловой коэффициент высоты из уравнения равен : ; .

Пример 6.Построить множество решений неравенства .

Решение. Множество решений линейного неравенства с двумя переменными и является одна из полуплоскостей, на которые делится вся плоскость прямой .

О Рис. 4.3

Полагая , получим , =2. Полагая , получим . , - это точки пересечения прямой с осями координат. Построим прямую (рис. 4.3). Для определения искомой полуплоскости рекомендуется задать произвольную контрольную точку, не лежащую на ее границе – построенной прямой.

Если неравенство выполняется в контрольной точке, то оно выполняется и во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости.

И, наоборот, в случае невыполнения неравенства в контрольной точке, оно не выполняется во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и выполняется во всех точках другой полуплоскости.

В качестве контрольной точки удобно взять начало координат , не лежащей на построенной прямой. Координаты точки не удовлетворяют неравенству , следовательно, решением данного неравенства является верхняя полуплоскость, не содержащая контрольную точку (рис. 4.3).

Задачи для самостоятельного решения

1.Написать уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью угол, равный .

2.Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая ?

3.Определить при каком значении прямая

а) параллельна оси ;

б) проходит через начало координат?

4. Найти угловой коэффициент прямой и ординату точки ее пересечения с осью , зная, что прямая проходит через точки и .

5. Прямая проходит через точки и . Какую абсциссу имеет точка , лежащая на прямой и имеющая ординату, равную 22?

6.Найти уравнение прямой:

а) образующей с осью угол и пересекающей ось в точке (0; -6);

б) параллельной оси и отсекающей на оси отрезок, равный 2;

в) отсекающей на осях координат отрезки, равные 3 и 4.

7. Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку :

а) параллельно данной прямой;

б) перпендикулярно данной прямой.

8. Составить уравнение прямой, проходящую через точку пересечения прямых и и параллельную оси ординат.

9. Составить уравнение перпендикуляра к прямой в точке пересечения ее с прямой .

10. Найти угол между прямыми

а) и ;

б) и ;

в) и .

11. Найти расстояние от точки до прямой .

12. Показать, что прямые и параллельны. Найти расстояние между ними.

13. Найти длину высоты в треугольнике с вершинами , и .

Ответы