Системы точек и отрезков

214. (7-8) Плоскость раскрасили в два цвета. Докажите, что найдется одноцветный треугольник с углами 48°, 60°, 72°. (К. Кноп)

215. (9) На плоскости дано конечное множество точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. При этом для каждых трёх точек A, B, C из этого множества ортоцентр треугольника ABC также принадлежит этому множеству. Докажите, что множество состоит не более, чем из четырёх точек. (Ю. Блинков, Д. Прокопенко)

Геометрическая комбинаторика

См. также задачи 9КГ1-5.

216. (6-7) Есть некоторое количество одинаковых квадратных столов. Их можно расставить для банкета либо буквой «П», либо буквой «Т» («толщина» каждой буквы – один стол). В каком случае можно будет посадить больше гостей (периметр образовавшегося банкетного стола будет больше)? (А. Блинков)

217. (6-7) У Пети и Васи было по одинаковому бумажному многоугольнику. Каждый из них перегнул свой многоугольник по прямой и обвел по контуру получившуюся плоскую фигуру (частично двухслойную). У Пети получился квадрат. Мог ли у Васи получиться треугольник, у которого все углы – острые? (А. Шаповалов)

218. (7-8). а) Из шести палок длиной 1 м сложили треугольную пирамиду. На палках сидят три паука, при этом расстояние между любыми двумя (измеряемое кратчайшим путем по ребрам пирамиды) не меньше R. При каком наибольшем R такое возможно?
(А. Шаповалов)

б) Паутина представляет собой правильный шестиугольник с длиной стороны 1, в котором проведены все диагонали, проходящие через центр. На паутине сидят семь пауков. Расстоянием между пауками называется длина кратчайшего пути между ними по паутине. Докажите, что расстояние между какими-то пауками не больше 1. (К. Кноп)

219. а) (7-8) Каким наибольшим может быть число сторон у многоугольника, полученного пересечением четырёхугольника и пятиугольника?

б) (9) Докажите, что при пересечении m-угольника и n-угольника не может получиться многоугольник более чем с 2m + 2n – 6 cторонами. (А. Шаповалов)

220. а) (7-8) Дан произвольный треугольник. На каждой стороне треугольника отмечено 14 точек. Каждая вершина треугольника соединена отрезками со всеми отмеченными точками противолежащей стороны. На какое наибольшее число частей отрезки могли разделить треугольник?

б) (9) Дан произвольный треугольник. На каждой стороне треугольника отмечено 14 точек, делящих ее на 15 равных отрезков. Каждая вершина треугольника соединена отрезками со всеми отмеченными точками противолежащей стороны. На сколько частей отрезки разделили треугольник? (В. Брагин)

221. (8-9) Некоторые из сторон и диагоналей выпуклого n-угольника (n > 3) нарисовали жирными и тонкими линиями. Известно, что жирные отрезки не пересекаются и между каждыми двумя вершинами есть единственный жирный путь. То же верно для тонких отрезков. Каково наименьшее количество пересечений между жирными и тонкими отрезками? (Никакие три диагонали не пересекаются в одной точке.) (Б. Френкин)

222. (8-9) Докажите, что из любого треугольника площади 4 можно вырезать осесимметричную фигуру площади больше 3. (А. Шаповалов)

Простая геометрия

См. также задачи 253, 7Г2-7Г5.

223. (7). Выпуклый четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Среди них есть остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Какой вид у четвертого треугольника? (Б. Френкин)

224. (7-8) Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на треугольники. Из двенадцати углов этих треугольников как минимум семь равны α. Какие значения может принимать α? (Помотивам Б. Френкина и К. Кнопа)

225. (7) Даны два треугольника. Сумма двух углов первого равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого также равна некоторому углу второго. Докажите, что первый треугольник – равнобедренный. (Б. Френкин)

226. (7) На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = AB; на стороне AB отмечена точка F так, что середина отрезка CF лежит на BD. Докажите, что
BF = CD. (С. Мазаник)

227. (7) В квадрате ABCD на стороне AB выбрана точка P, на стороне BC – точки Q и R, и на стороне AD – точка S. Вычислите ∠BSQ + ∠BRP + ∠SPD – ∠RPC, если известно, что
3BP = 3BQ = 3CR = 3DS = AD. (И. Акулич)

228. (7-8) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, а на стороне AD выбрана такая точка K, что AK = 2, KD = 1. Оказалось, что ∠ACK = 30°. Найдите OK. (Уральскийтурнир)

229. (7-8) Точка B лежит на отрезке AC. По одну сторону от прямой AC построены равносторонние треугольники ABE и BCF. Во сколько раз медиана BM треугольника BEF меньше суммыCE + AF? (Д. Калинин)

230. (7-8) На листе клетчатой бумаги по сторонам клеток нарисован квадрат ABCD со стороной 8. Е – середина стороны BC, Q – такая точка на диагонали AC, что
AQ : QC = 3 : 1. Найдите угол между прямыми AE и DQ. (Д. Прокопенко)

231. (7-8) Дана трапеция ABCD. В ней AC = AD, BD = AB. Какая сторона является бóльшим основанием? (Б. Френкин)

232. (8) Все углы равностороннего выпуклого пятиугольника различны. Докажите, что наибольший и наименьший из них – соседние. (К. Кноп)

233. (7-8) В прямоугольном треугольнике ABC на катетах AC и BC взяты точки P и Q соответственно так, что ∠PBC = ¹/₃ ∠ABC и ∠QAC = ¹/₃ ∠BAC. Отрезки AQ и BP пересекаются в точкеТ. Докажите, что TP = TQ. (Олимпиада Русановского лицея)

234. (7-8) На продолжении стороны AB треугольника ABC за точку A отмечена точка A₁, а за точку B – B₁. На продолжении стороны AC за точку A отмечена точка A₂, а за точку C – C₁. На продолжении стороны CB за точку C отмечена точка C₂, а за точку B – B₂. При этом AA₁ = AA₂ = BC, BB₁ = BB₂ = AC, CC₁ = CC₂ = AB. Докажите, что точки A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ лежат на одной окружности. (Дж. Конвей)

235. (7-8) Каждые две противоположные стороны шестиугольника ABCDEF параллельны и равны, причем треугольник ACE равносторонний. Докажите, что для некоторой точки О все три треугольника AOB, COD, EOF также равносторонние. (Д. Калинин)