Образец экзаменационного билета. 1. Что называется дифференциальным уравнением (д.у.)?

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называется дифференциальным уравнением (д.у.)? Что такое порядок д.у.?

2. Какой общий вид обыкновенного д.у. первого порядка? Какая функция называется решением этого уравнения на промежутке ? Дайте определения общего и частного решений этого уравнения?

3. Какой геометрический смысл имеет д.у. и его решения? Как определить наклон интегральной кривой уравнения в заданной точке по правой части уравнения? Что такое поле направлений, определяемое уравнением ?

4. Как ставится задача Коши для д.у. первого порядка? Каков ее геометрический и механический смысл?

5. Какой вид имеет д.у. с разделяющимися переменными? Какой алгоритм решения д.у. с разделяющимися переменными?

6. Какие частные решения могут появиться при решении д.у. с разделяющимися переменными?

7. Д.у. какого вида приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными?

8. Какая функция называется однородной степени m в области D?

9. Сформулируйте определения однородного д.у. Какой подстановкой (заменой искомой функции) однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными?

10. Какие д.у. приводятся к однородным?

11. Какой вид имеет линейное уравнение первого порядка? Чем отличается неоднородное линейное уравнение от однородного?

12. Как интегрируется однородное линейное уравнение первого порядка?

13. В чем заключается метод вариации произвольной постоянной интегрирования неоднородного линейного уравнения?

14. Какой подстановкой можно проинтегрировать неоднородное линейное уравнение?

15. Какое д.у. первого порядка называется уравнением Бернулли?

16. Какая связь между уравнением Бернулли и линейным уравнением первого порядка?

17. В каком случае будет решением уравнения Бернулли?

18. Какими методами интегрируется уравнение Бернулли?

19. Какое д.у. первого порядка называется уравнением Риккати?

20. Каким свойством решений обладает уравнение Риккати?

21. В каком случае уравнение Риккати можно привести к уравнению с разделяющимися переменными? Какой подстановкой уравнение Риккати можно привести а) к линейному уравнению, б) к уравнению Бернулли?

22. Сформулируйте определение уравнения в полных дифференциалах?

23. Как интегрируется уравнение в полных дифференциалах? В чем состоит метод интегрирующего множителя?

24. Как можно подобрать интегрирующий множитель, зависящий только а) от , б) от ?

25. Докажите, что интегрирующий множитель для линейного уравнения имеет вид .

26. Какая точка называется особой точкой д.у.? Почему начало координат является особой точкой уравнения ?

27. Какое решение дифференциального уравнения называется особым?

28. Сформулируйте теорему Пикара. Каково его практическое значение?

29. Дайте определение функции, удовлетворяющей в области D условию Липшица по переменной . Каким более удобным условием на практике заменяется условие Липшица? Какое оно для условия Липшица?

30. Что называется огибающим семейства кривых? Почему огибающая семейства интегральных кривых д.у. первого порядка всегда является его решением и притом особым?

31. Назовите методы отыскания особого решения д.у. первого порядка.

32. Какое д.у. первого порядка называется уравнением Лагранжа?

33. Каким методом интегрируется уравнение Лагранжа?

34. В каком виде чаще всего получается общее решение уравнения Лагранжа?

35. Какие кривые могут быть особыми решениями уравнения Лагранжа?

36. Какой вид имеет уравнение Клеро?

37. Как находятся общее и особое решения этого уравнения?

38. Что представляют собой интегральные кривые уравнения Клеро?

39. Как находится общее решение уравнения ? Какой вид имеет решение этого уравнения с нулевыми начальными условиями?

40. Как понижается порядок уравнения, не содержащего искомой функции, и уравнения, не содержащего искомой функции и последовательных первых производных?

41. Как понижается порядок уравнения, не содержащего независимой переменной?

42. Какой вид имеет ЛОДУ n-го порядка?

43. Что такое фундаментальная система решений ЛОДУ n-го порядка?

44. Что такое определитель Вронского решений ЛОДУ n-го порядка?

45. Как при помощи определителя Вронского узнать, образуют ли данные n решений ЛОДУ n-го порядка фундаментальную систему решений?

46. Как строится общее решение ЛОДУ n-го порядка по фундаментальной системе?

47. Какой вид имеет ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами?

48. Как составляется характеристическое уравнение ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами?

49. Как строится общее решение ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения?

50. Какой вид имеет ЛНОДУ n-го порядка?

51. Как строится общее решение ЛНОДУ n-го порядка?

52. Какой вид имеет правая часть ЛНОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, чтобы применить к нему метод неопределенных коэффициентов?

53. Чем отличается вид искомого частного решения ЛНОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами от его правой части?

54. Что такое принцип наложения частных решений ЛНОДУ n-го порядка?

55. В чем состоит метод вариации произвольных постоянных для интегрирования ЛНОДУ n-го порядка?

56. В чем преимущество метода вариации произвольных постоянных перед методом неопределенных коэффициентов для интегрирования ЛНОДУ n-го порядка?

ВОПРОСЫ ЭКЗАМЕНА

Курс, 3 семестр

1. Основные понятия и определения курса “Дифференциальные уравнения”. Задачи, приводящие к понятию ДУ.

2. ДУ 1-го порядка. Задача Коши для ДУ 1-го порядка. Понятия общего, частного и особого решений.

3. ДУ 1-го порядка, разрешимые в квадратурах:

а) ;

б) ДУ с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним;

в) однородные ДУ и приводящиеся к ним;

г) линейные ДУ, уравнения Бернулли и Риккати;

д) ДУ в полных дифференциалах, интегрирующий множитель.

4. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка:

а) ,

б) ,

в) ,

г) , где - однородная функция относительно .

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ 1-го порядка :

а) класс функций Липшица;

б) теорема Пикара, сведение задачи Коши к интегральному уравнению,

в) существование решения интегрального уравнения,

г) единственность решения интегрального уравнения,

д) замечания,

е) продолжение решения задачи Коши.

6. Уравнения 1-го порядка, неразрешенные относительно производной:

а) постановка задачи Коши, б) метод введения параметра, в) уравнение Лагранжа, г) уравнение Клеро.

7. Особые решения:

а) нахождение особых решений из анализа условий теоремы Пикара;

б) метод р-дискриминантных кривых;

в) метод С-дискриминантных кривых, огибающая.

8. Линейные уравнения n-го порядка:

а) общие свойства решений ЛОДУ, б) линейная зависимость и линейная независимость системы функций; необходимое условие линейной зависимости функций; в) необходимое и достаточное условие линейной независимости решений ЛОДУ; г) фундаментальная система решений ЛОДУ; теорема о структуре общего решения ЛОДУ.

9. ЛОДУ с постоянными коэффициентами:

а) теоремы о виде частного решения; б) теорема о частном решении в случае некратных действительных корней характеристического уравнения; в) теорема о частном решении в случае кратных действительных корней характеристического уравнения; д) случай комплексных корней характеристического уравнения.

10. ЛНОДУ с постоянными коэффициентами:

а) структура общего решения; б) метод неопределенных коэффициентов, в) принцип наложения частных решений.

11. ЛНОДУ. Метод вариации произвольных постоянных.

12. Применение ЛДУ 2-го порядка при изучении колебательных процессов:

а) математические модели колебательных систем (поперечные колебания подвешенного на пружине тела, колебания простого маятника в среде с сопротивлением, разряд конденсатора);

б) свободные колебания, физическая интерпретация полученных решений,

в) вынужденные колебания; явление резонанса.

Образец экзаменационного билета

Семестр