Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве можно задать различными способами; соответственно получим различные виды уравнений плоскости.

1) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору :

, (5.1)

где - нормаль.

Рис. 5.1

Уравнение (5.1) получено из следующих соображений. Если - произвольная точка плоскости , то вектор перпендикулярен нормали , т.е. , откуда следует, что .

2) Общее уравнение плоскости

, (5.2)

где коэффициенты , , - координаты нормального вектора .

Уравнение (5.2) следует из уравнения (5.1), если в нем раскрыть скобки и число обозначить за . Таким образом, плоскость задается уравнением первой степени относительно , и .

Верно и обратное утверждение: всякое уравнение первой степени вида (5.2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость.

3) Уравнение плоскости «в отрезках»

(5.3)

О Рис.5.2

где , и - величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях , и соответственно. Уравнение (5.3) может быть получено из общего уравнения плоскости (5.2) переносом числа (если ) в правую часть равенства и делением уравнения на число .

4) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и , не лежащие на одной прямой, может быть записано в виде:

. (5.4)

Уравнение вида (5.4) получено из следующих соображений. Если - произвольная точка плоскости , то три вектора , ,

лежащие на плоскости , компланарны, а следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е. . Используя выражение смешанного произведения в координатной форме, получим уравнение (5.4).

Если в уравнении (5.4) раскрыть определитель (лучше всего разложением по первой строке) и привести подобные члены, то получим уравнение вида (5.2).

5) Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением вычисляется по формуле:

. (5.5)

6) Угол между двумя плоскостями.

Пусть даны две плоскости:

с нормалью и

с нормалью .

В качестве угла между плоскостями и принимается угол между их нормалями: или в координатной форме

. (5.6)

7) Условие параллельности двух плоскостей и :

или в координатной форме

. (5.7)

Если , то обе плоскости и совпадают.

8) Условие перпендикулярности двух плоскостей и :

или в координатной форме

. (5.8)

9) Неполные уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты , , и отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов равнее нулю, то уравнение (5.2) называется неполным.

Рассмотрим различные виды неполных уравнений.

а) Если , то плоскость проходит через начало координат (поскольку координаты удовлетворяют этому уравнению);

б) Если , то плоскость параллельна оси ;

в) Если , то плоскость параллельна оси ;

г) Если , то плоскость параллельна оси .

Признак параллельности плоскости координатной оси:

- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ;

- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ;

- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ,

т.е. плоскость параллельна той координатной оси, наименование которой отсутствует в уравнении плоскости.

д) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );

е) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );

ж) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );

з) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат);

и) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат);

к) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат).

Прямая в пространстве

Для задания прямой в пространстве одного уравнения недостаточно. Это объясняется тем, что всякое уравнение с тремя переменными задает в пространстве некоторую поверхность , а не линию.

Рассмотрим различные виды уравнений прямой в пространстве.

1) Уравнения прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору

Рис. 5.4

(5.9)

Уравнения (5.9) называются каноническими уравнениями прямой.

Уравнения (5.9) получены из следующих соображений.

Если - произвольная точка прямой, то вектор коллинеарен вектору , а значит, их координаты пропорциональны, из чего и следуют уравнения (5.9).

2) Уравнения прямой, проходящей через две точки и .

Рис. 5.5

(5.10)

Уравнения (5.10) также являются каноническими уравнениями прямой, так как числа, стоящие в знаменателях, есть координаты вектора , являющегося направляющим для данной прямой.

3) Параметрические уравнения прямой в пространстве:

где (5.11)

Уравнения (5.11) получаются из канонических уравнений (5.9), если все три отношения в них приравнять к некоторому параметру , а затем выразить и через .

При этом - координаты точки , через которую проходит прямая параллельно направляющему вектору .

Замечание. Если какая–либо координата вектора равна , то равен и знаменатель соответствующей дроби в уравнениях (5.9).

Не следует воспринимать такую дробь как деление на . Если, например, , то уравнения (5.9) примут вид: .

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой. Получим

где или

Первое уравнение , означает, что прямая лежит на плоскости , перпендикулярной оси .

4) Общие уравнения прямой в пространстве

(5.12)

Уравнения (5.12) задают прямую, как линию пересечения двух плоскостей. Общие уравнения прямой могут быть преобразованы к каноническому или параметрическому виду.

5) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями

Угол между прямыми и определяется, как угол между направляющими векторами данных прямых и :

, или в координатной форме

. (5.13)

6) Условие параллельности двух прямых и :

или . (5.14)

7) Условие перпендикулярности двух прямых и :

или . (5.15)