Производная сложной функции

В п. 5.2 был рассмотрен вопрос о вычислении частных производных функции нескольких переменных, когда ее аргументами являются независимые переменные. Однако довольно часто встречаются случаи, когда аргументы функции нескольких переменных в свою очередь зависят от других переменных. Это так называемые сложные функции, с которыми мы уже сталкивались при изучении дифференцирования функций одной переменной. Рассмотрим три случая.

1. Пусть дана функция двух переменных производная сложной функции - student2.ru с областью определения производная сложной функции - student2.ru . При этом аргументы функции производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru , в свою очередь, зависят от одной переменной производная сложной функции - student2.ru . Переменная производная сложной функции - student2.ru меняется таким образом, что производная сложной функции - student2.ru не выходят из области определения функции.

В принципе, подставляя выражения производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru в функцию производная сложной функции - student2.ru , можно свести ее к функции одной переменной: производная сложной функции - student2.ru . Значит, в конечном счете, производная сложной функции - student2.ru и может быть продифференцирована по этой переменной. Выясним, каким образом можно вычислить производная сложной функции - student2.ru без подстановки производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru в функцию производная сложной функции - student2.ru .

Пусть все частные производные производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru , а также производные производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru определены и непрерывны для всех возможных значений производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru . Возьмем некоторое конкретное значение независимой переменной производная сложной функции - student2.ru и дадим ей приращение производная сложной функции - student2.ru : производная сложной функции - student2.ru . Это приведет к тому, что приращения получат обе переменные производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru : производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru . Но в этом случае должна измениться и сама функция производная сложной функции - student2.ru , причем, как показано в п. 5.3, она получит полное приращение

производная сложной функции - student2.ru .

Разделим обе части полученного равенства на производная сложной функции - student2.ru и перейдем к пределу при производная сложной функции - student2.ru , то есть найдем производная сложной функции - student2.ru :

производная сложной функции - student2.ru

Окончательно данное выражение можно записать следующим образом:

производная сложной функции - student2.ru .

Если производная сложной функции - student2.ru , где производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru ,…, производная сложной функции - student2.ru , то:

производная сложной функции - student2.ru .

2. Рассмотрим теперь функцию производная сложной функции - student2.ru при условии, что производная сложной функции - student2.ru . При подстановке производная сложной функции - student2.ru в производная сложной функции - student2.ru получаем функцию, зависящую только от одной переменной: производная сложной функции - student2.ru . Следовательно, в данном случае можно вычислить производная сложной функции - student2.ru .

Если производные производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru непрерывны в области определения функции, то данный случай можно привести к предыдущему. Действительно, положив производная сложной функции - student2.ru , получаем производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru . Таким образом,

производная сложной функции - student2.ru .

В полученном выражении имеются две производные по производная сложной функции - student2.ru . Одна из них производная сложной функции - student2.ru – частная производная функции двух переменных, для ее вычисления необходимо считать производная сложной функции - student2.ru константой. Другая производная производная сложной функции - student2.ru – это производная сложной функции одной переменной производная сложной функции - student2.ru . Эта производная, в отличие от первой, называется полной производной по производная сложной функции - student2.ru .

Если производная сложной функции - student2.ru , где производная сложной функции - student2.ru ,…, производная сложной функции - student2.ru , то

производная сложной функции - student2.ru .

3. Рассмотрим теперь наиболее общий случай: где производная сложной функции - student2.ru и при этом производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru .. Очевидно, подставляя производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru в производная сложной функции - student2.ru , мы снова получим функцию двух переменных производная сложной функции - student2.ru . Для этой функции можно вычислить частные производные производная сложной функции - student2.ru и производная сложной функции - student2.ru .

Пусть снова производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru , производная сложной функции - student2.ru непрерывны в области определения функции производная сложной функции - student2.ru . Найдем вначале производная сложной функции - student2.ru . При этом, очевидно, необходимо считать производная сложной функции - student2.ru константой. Но тогда производная сложной функции - student2.ru будет функцией только одной переменной производная сложной функции - student2.ru и можно воспользоваться выражением, полученным в случае 1:

производная сложной функции - student2.ru .

Аналогично

производная сложной функции - student2.ru .

Наши рекомендации