Основные теоретические сведения и расчетные формулы

1. Определение перемещений методом Мора. Вычисление интеграла Мора методом перемножения эпюр

Расчет статически неопределимых конструкций требует вычисления перемещений их сечений.

Рисунок 28 - Расчетные схемы статически неопределимых балок к задаче № 7

Универсальным способом определения перемещений является энер­ге­тический. В применении к балкам и плоским рамам этот метод при­во­дится

к вычислению интеграла Мора:

, (7.1)

где D - искомое перемещение (линейное перемещение или угол поворота);

l_i - длина участка балки или рамы;

E_iJ_i - изгибная жесткость этого участка;

М_pi - изгибающий момент от внешней нагрузки в произвольном сечении на участке l_i;

- изгибающий момент от единичной нагрузки в том же сечении;

n - число участков l_i , на которые разбивается данная балка или рама.

Для определения перемещения по формуле Мора необходимо:

1) рассмотреть так называемое грузовое (заданное) состояние кон­с­т­рукции, записав выражения для вычисления внут­ренних усилий, дей­ствующих в произвольно выбранном поперечном сечении каждого стержня от действия внешних нагрузок;

2) рассмотретьединичное состояние, для чего снять с конструкции все дей­ст­ву­ющие на нее нагрузки и приложить в сечении, перемещение ко­то­­рого оп­ре­деляется, по заданному направлению единичную силу (при опре­делении ли­нейного перемещения) или единичный момент (при вы­чи­с­ле­нии угло­вого перемещения);

3) записать выражения для изгибающих моментов, действующих в про­из­вольно выбранном поперечном сечении каждого стержня от единич­ной наг­руз­ки;

4) составить интеграл Мора и после интегрирования по участкам всей конструкции вычислить искомое перемещение.

Если искомое перемещение получилось отрицательным, то это озна­ча­ет, что дей­стви­тель­ное перемещение противоположно принятому нап­рав­ле­нию единич­ной наг­рузки.

Интеграл Мора можно вычислять графоаналитически, если предвари­тель­но построены эпюры моментов от заданной и единичной нагрузок.

Расчетная формула в этом случае имеет вид

(7.2)

где - площадь эпюры М_pi от заданной нагрузки на участке l_i;

- ордината эпюры от единичной нагрузки, расположенная под
центром тяжести эпюры М_pi на участке l_i.

Этот способ вычисления интеграла Мора называется «перемножением эпюр», или правилом Верещагина.

Метод перемножения эпюр применим для определения перемещений в ко­н­струкциях, сос­тоящих из прямо­ли­нейных элементов, жесткость кото­рых в пределах отдельных ее участков постоянна.

Для определения перемещений по Верещагину необходимо:

1) построить эпюры внутренних силовых факторов от действия вне­шних сил, при изгибе - эпюру изгибающих моментов;

2) построить эпюры внутренних силовых факторов от действия еди­ничной силы (момента), приложенной в сечении, перемещение кото­рого оп­ре­де­ля­ется, по заданному направлению (при изгибе - еди­ничную эпюру изгибающих моментов);

3) вычислить искомое перемещение для каждого участка путем ум­ножения площади нелинейной эпюры на ординату линейной эпюры, взятую под цент­ром тяжести нелинейной, и деления результата на жесткость ра­ссматр­и­ваемого участка.

Ординаты на эпюре вычисляются из подобия со­отве­­т­ствующих тре­уголь­ников (рисунок29).

В тех случаях, когда обе эпюры прямолинейны, можно умножать пло­щадь любой из них на ординату другой под центром тяжести первой.

Если эпюра от внешней нагрузки имеет сложный вид, то рекомен­ду­ет­­ся ее представить в таком виде, чтобы вычисление ее площади и положения центра тяжести было наиболее простым.

Произведение отрицательно, если эпюры от внешних нагрузок и еди­ничной силы (момента) противоположны по знаку, т.е. расположены по разные стороны от оси стержня. Это означает, что направление пере­мещения противоположно направлению единичной силы (момента).

2. Статически неопределимые балки. Метод сил

Балка называется статически неопределимой, если внутренние силовые фак­торы в ее поперечном сечении не могут быть определены только из урав­нений статики. Статическая неопределимость обусловлена наличием лишних связей, то есть таких связей, которые не являются необходимыми для обеспе­чения геометрической неизменяемости конструкции. В балках лишними свя­зя­ми служат дополнительные опоры.

Разность между числом опорных реакций балки и числом возможных ура­в­нений статики называется ее степенью статической неопре­дели­мости, или числом "лишних" неизвестных.

Одним из методов, используемых для расчета статически неопре­делимых систем, является метод сил.

Расчет начинается с выбора так называемой основной системы рас­сматриваемой конструкции. Статически определимая система, по­лучаемая из заданной отбрасыванием лишних связей, называется осно­в­ной сис­темой. Как правило, для заданной конструкции можно пред­ложить несколько вариантов основных систем, из которых для даль­ней­шего рас­чета выбирается один. При расчете статически неопределимой бал­ки удоб­но удалять внутрен­нюю связь, помещая шарнир на проме­жуточной опоре или в жесткой заделке (рисунок30). В этом случае лишней неизвестной будет опорный момент.

Рисунок 29 - Пример применения правила Верещагина

Рисунок 30 - Схемы статически неопределимых балок (а) и соответствующие им основные системы (б)

Если основную систему загрузить заданными нагрузками и реакциями от­брошенных связей, получим эквивалентную систему, которая при опреде­ленных величинах этих реакций деформируется так же, как заданная кон­струкция. Реакции Х_i отброшенных связей определяется из очевидного усло­вия: перемещения по направлениям Х_i в эквивалентной системе дол­жны рав­няться нулю. Для конструкции с одной лишней связью это условие за­пи­сыва­ется в виде одного канонического уравнения метода сил:

(7.3)

где d₁₁ - перемещение в основной системе по направлению X₁ от действия
единичной силы или единичного момента ;

D_1p - перемещение в основной системе по направлению X₁ от действия
внешних нагрузок.

Для вычисления d₁₁ и D_1p необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов: - от единичной силы (момента) и М_p - от внешних нагрузок. Коэффициент d₁₁ при X₁ вычисляется умножением эпю­ры на эту же эпюру, а D_1p - перемножением эпюр M_p и . Символически это можно записать так:

d₁₁ = ( ); D_1p = (М_p ). (7.4)

Определением реакции Х_i из канонического уравнения заканчивается раскрытие статической неопределимости балки с одной лишней связью. Ос­таль­ные опорные реакции вычисляются из уравнений равновесия, счи­тая те­перь Х_i известной величиной.

Перемещения в статически неопределимой системе после раскрытия ее не­оп­ре­делимости находятся непосредственным вы­­чис­лением интеграла Мора, ли­бо перемножением эпюр.

Для вычисления прогиба в каком - либо сечении балки следует по на­правлению ис­ко­мого перемещения к основной системе приложить единичную силу (при вычислении угла поворота - единичный момент ) и построить эпюру изгибающих моментов от действия этой единичной нагрузки. Искомое перемещение вычисляется путем перем­ножения оконча­те­ль­­­ной эпюры изгибающих моментов M на вновь построенную эпюру .