Алгоритм решения квадратных уравнений
+bx+c=0
1.Найти дискриминант D по формуле D= 
-4ac.
2.Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.
3.Если D=0, то уравнение имеет один корень:
4.Если D>0, то уравнение имеет два корня:
, 
.
Теперь приступим к решению нашего уравнения 3 
-10х+3=0,
где 
=3, b=-10 а с=3.
Находим дискриминант:
D= 
-4*3*3=64
Поскольку D>0, то у данного уравнения два корня. Находим их:
; 
.
Таким образом, корнями многочлена f(x)=3 -10+3 будут являться числа 3 и 
.
Схема Горнера
Схема Горнера(или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы полиномов (одночленов), при заданном значении переменной.Она, в свою очередь, и помогает нам выяснить, является ли число 
корнем данного многочлена или нет.
Для начала рассмотрим как делится многочлен f(x )на двучлен g(x).
Это можно записать следующим образом: f(x):g(x)=n(x), где f(x)- делимое, g(x)- делитель а n(x)- частное.
Но в случае, когда f(x) не делится нацело на g(x) имеет место общая запись выражения
.
При это степень r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что 
делится на 
с остатком 
.
Рассмотрим деление многочлена на двучлен. Пусть
, 
+...+ 
.
Получаем
Где r- число т.к. степень r должна быть меньше степени (x-c).
Умножим s(x) на и получим
Отсюда 
Таким образом, при делении на двучлен можно определять коэффициенты частного по полученным формулам. Подобный способ определения коэффициентов и называется схемой Горнера.
 |  |  | ... |  | |
| + |  |  | ... |  | |
| c |  |  |  | ... | r |
Теперь рассмотрим несколько примеров применения схемы Горнера.
Пример. Выполнить деление многочлена f(x)= 
на x+3.
Решение.В начале необходимо записать (x+3) в виде (x-(-3)), поскольку в самой схеме будет участвовать именно -3.В верхней строке мы будем записывать коэффициенты, в нижней- результат действий.
| -5 | -35 | ||||
| + | 1*(-3)=-3 | -12 | |||
| -3 | 3+(-3)=0 | -17 |
По полученным результатам запишем
Таким образом, мы получили f(x)= 
с остатком r(x)= 16.
Пример. Выполнить деление многочлена f(x)= 
на x-2.
Решение.
| -3 | -2 | |||
| + | ||||
f(x)=(x-2)(1 
)+16.
Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корней
По схеме Горнера можно находить целочисленные корни многочлена f(x). Рассмотрим это на примере.
Пример. Найти все целочисленные корни многочлена f(x)= 
, при помощи схемы Горнера. 
Решение.Коэффициенты данного многочлена- целые числа. Коэффициент перед старшей степенью(в нашем случае перед 
) равен одному. Поэтому, целочисленные корни многочлена мы будем искать среди делителей свободного члена (у нас это 15), это числа: 
Начнем проверку с числа 1.
Таблица №1
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 |
Из полученной таблицы видно, что при 
=1 многочлен многочлена f(x)= 
, мы получили остаток r=192, а не 0, из этого следует, что единица не является корнем. Поэтому продолжим проверку при =-1. Для этого мы не будем создавать новую таблицу, а продолжим в старой, а уже не нужные данные зачеркнем.
Таблица №2
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 |
Как мы видим из таблицы, в последней ячейке получился нуль, а это значит, что r=0. Следовательно? число -1 является корнем данного многочлена. Поделив наш многочлен многочлена f(x)= на ( 
)=x+1 мы получили многочлен
f(x)=(x+1)( 
),
коэффициенты для которого мы взяли из третей стоки таблицы № 2.
Также мы можем сделать равносильную запись
(x+1)( 
). Пометим его (1)
Теперь необходимо продолжить поиск целочисленных корней, но только сейчас мы уже будем искать корни многочлена . Искать эти корни мы будем среди свободного члена многочлена, числа 45.
Еще раз проверим число -1.
Таблица №3
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 |
Таким образом, число -1 является корнем многочлена 
, его можно записать в виде
(2)
С учетом равенства (2) мы можем записать равенство (1) в следующем виде
(3)
= 
Теперь ищем корни для многочлена 
, опять же среди делителей свободного члена. Вновь проверим число -1.
Таблица №4
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 |
По таблице мы видим, что число -1 является корнем многочлена 
.
(3*)
С учетом (3*) мы можем переписать равенство (2*) как:
(5)
Теперь будем искать корень для 
. Вновь смотрим делители свободного члена. Начнем проверку вновь с числа -1.
Таблица №5
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 |
У нас получился остаток не равный нулю, а это значит, что число -1 не является корнем для многочлена 
. Проверим следующее число 1.
Таблица №6
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 |
И мы видим, что опять не подходит, остаток r(x)= 24.Берем новое число.
Проверим число 3.
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 |
Таблица №7
r(x)= 0, это значит, что число 3 является корнем многочлена 
, этот многочлен мы можем записать как:
=(x-3)( 
)
Учитывая получившееся выражение, мы можем записать равенство (5) в следующем виде:
( x-3)( ) (6)
Проверим теперь для многочлена 
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 | |||||||
| + | |||||||
Таблица №8
Исходя из таблицы, мы видим, что число 3 это корень многочлена . Теперь запишем следующее:
Запишем равенство (5*), с учетом получившегося выражения, следующим образом:
( x-3)( 
)= 
= 
.
Найдем корень для двучлена 
среди делителей свободного члена.
Возьмем число 5
Таблица №9
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 | |||||||
| + | |||||||
| + | -5 | ||||||
| -5 |
r(x)=0, следовательно, 5 является корнем двучлена 
.
Таким образом, мы можем записать
.
Решением данного примера будет являться таблица№8.
Как видно из таблицы, числа -1;3;5 – корни многочлена.
Теперь перейдем непосредственно к видам корней.
-1- корень третьей степени, поскольку скобка (x+1) находится в третьей степени;
3- корень второй степени, скобка(x-3) во второй степени;
5- корень первой степени или, другими словами, простой.