Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии.

Задача. Уточнить корень уравнения sin2x-lnx=0 ,если функция f(x)=sin2x-lnx непрерывна на отрезке [1;1,5 ] и имеет на нем единственный корень.

Решение проведем, используя формулы (1) и (2).

Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru

Результат:

Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru

Корень: x=1,399429.

Алгоритм уточнения корня уравнения методом простой итерации.

Задача. Уточнить корень уравнения x*x*x – x – 1, отделенный на отрезке [1, 2] методом простой итерации с точностью 10-4.

Решение. Приведем уравнение к итерационному виду. Учитывая |f’(x)|=11, примем q=7. Используя формулы (3) и (4), получим:

x n+1 = x n – f(x)/7

  A B C D E
    МЕТОД ИТЕРАЦИЙ    
         
         
x f(x) f1(x) 1-f(x)/k
=B5*B5*B5-B5-1 =3*B5*B5-1 =ABS(1-D5/F$2)
=B5+0,1 =B6*B6*B6-B6-1 =3*B6*B6-1 =ABS(1-D6/F$2)
=B6+0,1 =B7*B7*B7-B7-1 =3*B7*B7-1 =ABS(1-D7/F$2)
=B7+0,1 =B8*B8*B8-B8-1 =3*B8*B8-1 =ABS(1-D8/F$2)
=B8+0,1 =B9*B9*B9-B9-1 =3*B9*B9-1 =ABS(1-D9/F$2)
=B9+0,1 =B10*B10*B10-B10-1 =3*B10*B10-1 =ABS(1-D10/F$2)
=B10+0,1 =B11*B11*B11-B11-1 =3*B11*B11-1 =ABS(1-D11/F$2)
=B11+0,1 =B12*B12*B12-B12-1 =3*B12*B12-1 =ABS(1-D12/F$2)
=B12+0,1 =B13*B13*B13-B13-1 =3*B13*B13-1 =ABS(1-D13/F$2)
=B13+0,1 =B14*B14*B14-B14-1 =3*B14*B14-1 =ABS(1-D14/F$2)
=B14+0,1 =B15*B15*B15-B15-1 =3*B15*B15-1 =ABS(1-D15/F$2)

продолжение таблицы

  F G H
     
K  
     
xx f(xx) g=x-f(x)/k
=F5*F5*F5-F5-1 =F5-G5/F$2
=H5 =F6*F6*F6-F6-1 =F6-G6/F$2
=H6 =F7*F7*F7-F7-1 =F7-G7/F$2
=H7 =F8*F8*F8-F8-1 =F8-G8/F$2
=H8 =F9*F9*F9-F9-1 =F9-G9/F$2
=H9 =F10*F10*F10-F10-1 =F10-G10/F$2
=H10 =F11*F11*F11-F11-1 =F11-G11/F$2
=H11 =F12*F12*F12-F12-1 =F12-G12/F$2
=H12 =F13*F13*F13-F13-1 =F13-G13/F$2
=H13 =F14*F14*F14-F14-1 =F14-G14/F$2
=H14 =F15*F15*F15-F15-1 =F15-G15/F$2
=H15 =F16*F16*F16-F16-1 =F16-G16/F$2
=H16 =F17*F17*F17-F17-1 =F17-G17/F$2

Результат:

  A B C D E F G H
    МЕТОД ИТЕРАЦИЙ        
          K  
               
x f(x) f1(x) 1-f(x)/k xx f(xx) g=x-f(x)/k
-1 0,71429 -1 1,143
1,1 -0,769 2,63 0,62429 -0,65015 1,236
1,2 -0,472 3,32 0,52571 -0,34872 1,286
1,3 -0,103 4,07 0,41857 -0,16099 1,309
1,4 0,344 4,88 0,30286 -0,06791 1,318
1,5 0,875 5,75 0,17857 -0,02741 1,322
1,6 1,496 6,68 0,04571 -0,01085 1,324
1,7 2,213 7,67 0,09571 -0,00426 1,324
1,8 3,032 8,72 0,24571 -0,00167 1,325
1,9 3,959 9,83 0,40429 -0,00065 1,325
0,57143 -0,00026 1,325
          -1E-04 1,325
          -3,9E-05 1,325

Алгоритм решения на языке TMTPascal.

Задача. Решить уравнение итерационного вида x-0.5*(x*x*x-sin(x))=0, уточнить корень на отделенном отрезке.

program metod_prostoy_iterazii;

var a,b,x,y,eps: real;

i: byte;

BEGIN

write('Vvedite tocnost:','eps=');read(eps);

write('a=');read(a);

write('b=');read(b);

x:=a+0.1;

i:=0;

while abs(y-x)>=eps do

begin

i:=i+1;

y:=x-0.5*(x*x*x-sin(x));

x:=y;

end;

writeln('x=',x:10:3);

write('shag:',i);

END.

Алгоритм уточнения корня уравнения методом Ньютона.

Задача. Уточнить корень уравнения sin2x-lnx=0 методом Ньютона на отрезке [1,3;1,5] с точностью 10-4.

Решение. Для проверки точности положим m=2,4. Используя формулы (5) и (6), получим:

Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru

Результат:

Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru

Корень: x=1,39943.

Алгоритм уточнения корня уравнения методом хорд.

Задача. Уточнить корень уравнения sin2x-lnx=0 методом хорд на отрезке [1,3;1,5] с точностью 10-4.

Решение. Определим точки с=1,5 и x0=1,3. Используя формулы (6), (7), (8) и принимая m=2,4, получим:

Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru

Результат:

Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru

Корень: x=1,3994104.

Практическая часть

План решения нелинейного уравнения

Отделить корни, выбрать один отрезок длинной 1 или менее.

1. Представить уравнение в виде f(x)=0, найти отрезок (а : б).

2. Выбрать метод уточнения, обосновать выбор (f’, f” в точках (а : б); определить неподвижную точку метода хорд и точку касания).

3. Составить расчетную формулу метода.

4. Выполнить расчеты по формуле; построить графики.

5. Ответ (последовательность приближенных решений с округленным последним значением).

Задание 1. Отделить корни и уточнить методом хорд, методом секущих, методом итераций с точностью 0,001.

N f(x) N f(x)
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru

Задание 2. Уточнить корень уравнений g(x)=0, отделенный на указанном отрезке, комбинированным методом

№ варианта g(x) [a, b]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [5,25]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [0.1,10]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [0.1,2]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [0,3]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [0,2]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [0,3]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [0.001,3]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [0.1,35]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [0.01,3]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [-0.5,1.5]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [-1.5,0]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [1,3]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [0,3]
Алгоритм задачи решения уравнений методом дихотомии. - student2.ru [0,5]


Вопросы к защите лабораторной работы №2

«Решение нелинейных уравнений».

1. Постановка задачи решения нелинейных уравнений. Основные этапы решения задачи.

2. Итерационное уточнение корней: порядок сходимости метода.

3. Метод бисекции: описание метода, скорость сходимости, критерий окончания.

4. Метод простой итерации решения нелинейного уравнения: описание метода, условие и скорость сходимости, критерий окончания, геометрическая иллюстрация, приведение к виду, удобному для итераций.

5. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения: описание метода, теорема о сходимости, критерий окончания, геометрическая иллюстрация.

6. Метод секущих: описание метода, теорема о сходимости, критерий окончания, геометрическая иллюстрация.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Наши рекомендации