Свойства абсолютных величин

С абсолютными величинами чисел в математическим анализе приходиться часто встречаться Мы Напомним относящееся сюда определения и теоремы и сделаем ряд упражнений.

1. Абсолютная величина обозначается символом .

Пусть —действительное число. Если оно положительно или равно нулю , то его абсолютной величиной называется оно само, а если оно отрицательно , то его абсолютной величиной называется число .

Итак, если , то ; если , то .

Чтобы перейти к абсолютной величине числа, имеющего в цифровой записи знак минус, надо этот знак отбросить.

Если , то ; если , то .

Если , то .

2. Если , то это означает, что удовлетворяет неравенствам (фиг.1.5);

Фиг.1.5

Пример1. Если , то имеют место неравенства .

Пример 2. Если , то удовлетворяет неравенствам (фиг.1.6)

Фиг.1.6

Задача1.1

Определить числовую величину выражения при .

Решение. При

Задача1.2

Определить числовую величину выражения при .

Решение. При имеем

Задача1.3

(для самостоятельного решения).Определить при числовую величину выражения .

Ответ.

Задача1.4

(для самостоятельного решения).Найти числовую величину выражения при:

1) ;

2) ;

3) .

Ответ

1) 5;

2) 3;

3) 8.

Задача1.5

Определить, при каких значениях будет справедливо неравенство .

Решение. Согласно формуле (1.1) данное неравенство может быть записано так: . К каждой части этих неравенств прибавим по 3 и получим , откуда следует, что .

Заключение: неравенство выполняется для всех значений из интервала (1,5).

Задача1.6

Определить, при каких значениях выполняется неравенство .

Решение. Поступая так де, как и предыдущей задаче, получаем, что , а отсюда, прибавляя к каждой части этих неравенств, имеем .

Заключение: неравенство выполняется для всех значений из интервала .

Задача1.7

(для самостоятельного решения).Определить, при каких выполняется неравенства:

1) ;

2) ;

3) .

Ответ.

1) ;

2) ;

3) и .

Указание к третьему примеру: из того, что , следует, что и . В нашем случае из того, что , заключаем, что и ; отсюда и следует указанный ответ.

Задача1.8

При каких значениях корень будет иметь действительное значения?

Решение. Корень будет иметь действительное значение, если подкоренное выражение не является отрицательным, т. е. когда , а .

Многие совершают грубую ошибку, делая на основании неравенства заключение, что , т.е. и . В действительности же верно только то, что , а неравенство является в данном случае ошибочным. Правильным решением неравенства являются и , т.е. , или , ибо для всех значений из интервала выполняется неравенство . Если же принять, что , то числа, удовлетворяющие этому неравенству, будучи возведены в квадрат, дадут числа больше, чем 9 (например, и ).

Итак, решением неравенства является , или .

Задача1.9

(для самостоятельного решения). При каких значениях корень будет иметь действительное значение?

Ответ. и ,т.е. имеет действительные значения для значений , удовлетворяющих неравенствам и .