Построение кривой по точкам
Метод линеаризации данных для y=CeAx
Предположим, что заданы точки (x1,y1),(x2,y2),…,(xN,yN) и требуется выполнить подгонку экспоненциальной кривой вида
(9) y=CeAx.
Первым будет шагом будет логарифмирование обеих частей:
(10)
Затем заменим переменные:
(11)
В результате получим линейное соотношение между новыми переменными X и Y:
(12)
Исходные точки (xk;yk) на плоскости ху преобразовались в точки (Xk;Y)=(xk;ln(yk)) на плоскости XY. Этот процесс называют линеаризация данных. Тогда построенная МНК линия является подгонкой к точкам {(Xk;Yk)}.Нормальными уравнениями для нахождения А и В будут уравнения
После того как А и В найдены, вычисляем параметр С уравнения (1):
(13)
Пример расчета в пакете MATHCAD
Разбиваем и получаем точки Χ и Υ |
Табулируем:
Решение МНК с помощью встроенных функций: |
Получаем результат при помощи блока Given: |
Практическая задача
Задание: необходимо написать программу для определения гравитационной постоянной g следующих совокупностей данных. Используем подгонку нелинейного МНК
Время, tk | Расстояние, dk |
0.200 | 0.1960 |
0.400 | 0.7835 |
0.600 | 1.7630 |
0.800 | 3.1345 |
1.000 | 4.8975 |
Реализация метода в MATLAB
function z=E(u)
A=u(1);
C=u(2);
z=(C.*exp(0.2*A) -0.1960).^2+(C.*exp(0.4*A)-0.7835).^2+(C.*exp(0.6*A)-1.7630).^2+( C.*exp(0.8*A)-3.1345)+( C.*exp(1.0*A)-4.8975)
>> fmins(‘E’,[1 1])
ans =
0.1271 3.9115
Т.е. y=0.1271e3.9115
Реализация метода в MATHCAD:
Пояснения:
1) Представим, что время и расстояние х и у.
2) Решаем МНК с помощью встроенных функций.
3) Получаем результат при помощи блока Given. Результат- это и есть гравитационная постоянная. Которую мы представляем как
y=0.1271e3.9115
Варианты лабораторных работ
Номер варианта | Функция | Номер варианта | Функция |
ТЕМА 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Лабораторная работа № 3
Приближенное вычисление определенных интегралов»
Цель работы.Вычислить численно определенный интеграл вида
, где (1)
- а, b – нижний, верхний пределы интегрирования соответственно;
- f(х) - непрерывная функция на отрезке [а, b].
с помощью методов левах, правых, средних прямоугольников, трапеций и Симпсона.Оценить погрешность полученных результатов.
Постановка задачи:
1. С помощью различных сред программирования (MathCad, MATLAB) найти приближенное значение определенного интеграла функции f(x) на интервале [a, b] при заданном числе промежутков интегрирования n .
2. Приближенное значение интеграла определить с помощью методов левах, правых, средних прямоугольников, трапеций и Симпсона.
3. Оценить погрешность вычисления приближенного интеграла.
Содержание отчета:
1. Постановка задачи.
2. Теоретические сведения.
3. Ручной счет с использованием формул средних прямоугольников, трапецій.
4. Листинги счета на ЭВМ.