Теорема о связи функции и ее предела. Основные свойства предела( предел сумма, произведения, частного)

Й, 2й замечательный пределы.

1й: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x®0

j

lim((Sina)/a)=1

x®0

S_DOAC<S_{сектораOAC}<S_DOCB

S_DOAC=1/2*OC*AD, OA=OC=1, то

S_DOAC=1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina

S_{сектораOAC}=1/2*OA*OC*a=1/2*a(т.к. OA=OC)

S_DOCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga

1/2*Sina<1/2*a<1/2tga //*2

sina<a<tga//:sin

1<a/sina<1/cosa, =>cosa<sina/a<1,

limCosa<lim((Sina)/a)<lim1, по признаку

a®0 a®0 существования предела ф-ции lim((Sina)/a)=1a®02ой: lim(1+1/n)ⁿ=e»2.7183

n®¥

Зная, что 1/n=a - б.м.в., то n=1/a и

x®¥ a®0

lim(1+1/n)^1/a=e

a®0

Функция и ее пределы. Теорема о промежуточных функциях

Вторая Теоре́ма Больца́но — Коши́ о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии — это утверждение, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что f(c) = C.

Теорема о связи функции и ее предела. Основные свойства предела( предел сумма, произведения, частного)

свойства:Предел суммы равен сумме пределов: предел разности равен разности пределов Предел произведения равен произведению пределов Предел частного равен частному пределов.

29)Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства эквивалентности Если , то функция f называется бесконечно малой при x → x0; если , то функция f называется бесконечно большой при x → x0.

Две бесконечно малые называются эквивалентными, если предел их отношения равен1

. 30) 1 замечательный предел. Раскрытие неопределенности 0/0.(1 предел см 26)

Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя. Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный.

31)2 замечательный предел для функции. Раскрытие неопределенностей 1 в стп. Бескон. Другие не определенности2ой: lim(1+1/n)ⁿ=e»2.7183

n®¥

Зная, что 1/n=a - б.м.в., то n=1/a и

x®¥ a®0

lim(1+1/n)^1/a=e

a®0

Раскрытие ¥/¥. Второе правило.Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x®¥,x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+.Неопред-ти вида 0¥, ¥-¥, 0^0, 1^¥, ¥^0.

Неопр. 0¥, ¥-¥ сводятся к 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований. А неопр.0^0, 1^¥, ¥^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0

32)Функции, непрерывные в точке. Классификация точек разрыва

x=x₀+Dx, Dx=x-x₀

Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀)

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x₀, если она определена в окрестности этой точки, а limDy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).

limDy=lim[f(x)-f(x₀)]=limf(x)-limf(x₀)=0, то

limf(x)=limf(x₀)

x®x₀

Ф-ция непрерывна в точке х₀, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х₀

Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке. Точки, где функция f(x) не является непрерывной, называются точками разрывафункции f(x).

Дописать