Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции

Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Заметим, что если прямая , является вертикальной асимптотой, то точка — это точка разрыва второго рода, в которой функция не определена. Поэтому для того, чтобы найти вертикальные асимптоты нужно исследовать точки, в которых функция не определена.

Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если представима в виде , где — бесконечно малая функция при ( ).

Теорема. Для того, чтобы график функции имел наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предельных значения

, (1)

. (2)

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Данная функция не определена в точке . Найдем предельное значение функции при

.

Следовательно, график этой функции имеет вертикальную асимптоту .

Чтобы выяснить, есть ли у графика функции наклонные асимптоты, найдем предельные значения (1), (2):

,

.

Итак, прямая является наклонной асимптотой графика при и .

19.ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Понятие первообразной функции

Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на интервале , если в любой точке этого интервала функция дифференцируема, и ее производная равна .

Свойства первообразных

1) Если функция является первообразной функцией для функции на интервале , то и функция , где — произвольная постоянная, также является первообразной функцией для функции на интервале .

Действительно,

.

2) Если и — первообразные функции для функции на интервале , то повсюду на этом интервале , где — некоторая постоянная.

Положим . Так как каждая из функций и дифференцируема на интервале , то и дифференцируема на этом интервале. Причем всюду на интервале справедливо равенство

.

Так как производная равна нулю в любой точке интервала , то функция является постоянной на этом интервале.

3) Если функция является первообразной функцией для функции на интервале , то любая первообразная функция для функции на интервале имеет вид , где — некоторая постоянная.

Это утверждения является следствием свойства 2.

Неопределенный интеграл

Определение. Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . В этом обозначении знак называется знаком интеграла, — подынтегральным выражением, — подынтегральной функцией, . — переменной интегрирования.

Если функция является первообразной функцией для функции на интервале , то в силу приведенного выше следствия

,

где — произвольная постоянная.

Заметим также, что, если для функции на интервале существует первообразная функция, то подынтегральное выражение представляет собой дифференциал любой первообразной. Действительно, если является первообразной функцией для функции на интервале , то .

20.Свойства неопределенного интеграла.

Пусть функция имеет на некотором интервале первообразную функцию . Неопределенный интеграла имеет следующие свойства:

1. .

Действительно, используя определение неопределенного интеграла, имеем

.

2. .

Так как , а первообразной для функции является функция , то согласно определению неопределенного интеграла получим

.

3. .

Пусть — первообразная для функции . Тогда свойство 3 можно записать в виде

,

Следовательно, свойство 3 означает, что — это первообразная для функции . Покажем, что последнее утверждение справедливо. Действительно,

.

4. , где — некоторая постоянная.

Перепишем свойство 4 в виде и покажем, что является первообразной функцией для функции . Действительно,

.

5. , где — первообразная функции .

Пусть . Тогда

.

Следовательно, является первообразной подынтегральной функции .

21.Таблица интегралов.

Поскольку неопределенный интеграл — это совокупность первообразных для подынтегральной функции, то для нахождения неопределенного интеграла , требуется отыскать функцию , удовлетворяющую соотношению . Непосредственной проверкой этого соотношения можно убедиться в справедливости следующих формул.

1. .

2. .

3. ( ).

4. ( ).

5. , .

6. .

7. .

8. , .

9. , .

10. , .

11. .

12. , ( , если в подкоренном выражении выбран знак –).

13. ,

15. ( ).

16. , ( , , если выбран знак –).

17. , ( , ).

18. .

19. .

20. .

22.Методы интегрирования:замена переменной.

Замена переменной в неопределенном интеграле

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна на множестве и пусть — множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции существует на множестве первообразная функция , то есть

.

Тогда всюду на множестве для функции существует первообразная функция, равная , то есть

.

Доказательство. Поскольку

,

то функция является первообразной для функции .

Замена переменной является одним из основных методов интегрирования. Предположим, что нам удалось выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию , что подынтегральная функция может быть представлена в виде , а интеграл легко вычисляется, тогда на основании теоремы о замене переменной в неопределенном интеграле имеем

. (1)

Добавим теперь к таблице основных интегралов несколько часто встречающихся интегралов, которые мы найдем с помощью замены переменной.

17. , .

Сделаем замену переменной , тогда , , и

.

18. ( ).

В этом интеграле также сделаем замену переменной . В результате получим

.

19. , ( , , если выбран знак –).

Этот интеграл с помощью замены переменной можно свести к интегралу 12.

.

Заметим, что поскольку — некоторая положительная постоянная, то — это произвольная постоянная, поэтому в формуле (19) заменили на .

20. , ( , ).

Преобразуем подынтегральную функцию к виду

и рассмотрим интегралы и . В первом интеграле сделаем замену переменной , а во втором . Тогда , . В результате замены получим

, .

Далее воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла

.

21. .

Преобразуем подынтегральную функцию

и сделаем замену переменной . Тогда и

.

22. .

Заметим, что , и сделаем замену переменной . В результате получим

.

23. .

Этот интеграл вычисляется с помощью замены переменной . При этом и

.

При интегрировании путем замены переменной преобразования (1) нередко записывают в сокращенном виде

. (2)

В этом случае, говорят, что функция подведена под знак дифференциала. При такой форме записи вычисление интеграла 23 приобретает вид

.

Приведем еще несколько примеров.

Пример 1. . В этом интеграле фактически была сделана замена , но часть преобразований

опущена.

Пример 2. . В данной записи вычисления интеграла мы опять опустили часть преобразований, подведя под знак дифференциала функцию .

Пример 3. . Здесь по знак дифференциала подведена функция .

23.Интегрирование по частям.

Формула интегрирования по частям

Пусть каждая из функций и дифференцируема на множестве и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции . Тогда на множестве существует первообразная и для функции , причем справедлива формула

. (1)

Доказательство. Воспользуемся формулой производной произведения двух функций

.

Умножим это равенство на и возьмем интеграл от правой и левой части

.

Так как , а интеграл существует , то существует и интеграл , причем

.

Учитывая, что , а , формулу (1) можно записать в виде

. (2)

Пример 1. Найти интеграл .

Применим формулу интегрирования по частям (4), полагая , , , . В результате получим

.

Пример 2. Найти интеграл .

Полагая в формуле интегрирования по частям (2) , , , получим

.

Для вычисления интеграла еще раз применим формулу (2) ( , , , ). В результате имеем

= .

Пример 3. Найти интеграл .

Пусть , . Тогда по формуле (2)

,

При вычислении интеграла снова используем формулу интегрирования по частям ( , )

.

В результате мы получили линейное алгебраическое уравнение относительно

.

Решая его, находим

.

Пример 4. Найти интеграл .

Пусть , . Тогда по формуле интегрирования по частям имеем

.

С помощью интегрирования по частям вычисляются интегралы следующих видов:

1) , , .

При вычислении этих интегралов следует положить . Поскольку , то в результате интегрирования по частям получатся интегралы вида

, , .

Применяя формулу интегрирования по частям раз придем к табличным интегралам

, , .

2) , .

Применяя дважды формулу интегрирования по частям , приходим к уравнению первого порядка относительно рассматриваемого интеграла. Решив это уравнение найдем искомый интеграл.

3) Подынтегральная функция содержит множитель: , , , .

В этом случае в формуле интегрирования по частям надо положить функцию , равной одной из указанных функций.

24.Определенный интеграл, его геометрический смысл.

Определение. Функция называется интегрируемой по Риману на отрезке , если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при . Указанный предел интегральных сумм называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается .

Итак

.

В записи определенного интеграла называют нижним пределом интегрирования, — верхним пределом интегрирования, — подынтегральной функцией, отрезок — интервалом интегрирования.

Из определения определенного интеграла следует, что для неотрицательных функций определенный интеграл является пределом при последовательности площадей рассмотренных выше ступенчатых фигур. Поэтому он равен площади фигуры, ограниченной графиком функции , отрезком оси и прямыми , . Позже мы докажем это утверждение более строго.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Криволинейной трапецией называется фигура , ограниченная прямыми , , осью и графиком функции (рис. 3)

Рис. 3

Заметим, что нижняя сумма Дарбу представляет собой площадь ступенчатой фигуры, вписанной в криволинейную трапецию, а верхняя сумма Дарбу — площадь ступенчатой фигуры, описанной вокруг криволинейной трапеции. Очевидно, что

,

где — площадь криволинейной трапеции. Так как непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке, то

.

Следовательно,

.

Итак, определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , , осью и графиком функции

25.Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция непрерывна на отрезке , тогда любая ее первообразная может быть представлена в виде

. (3)

Положим в формуле (3) сначала , а затем . В результате имеем два равенства

, .

Вычитая из второго равенства первое и заменяя на , получим основную формулу интегрального исчисления

. (4)

Эту формулу называют также формулой Ньютона-Лейбница.

Разность обозначают символом , формулу (4) записывают в виде .

Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную подынтегральной функции и из значения этой первообразной для верхнего предела интегрирования вычесть значение для нижнего предела.

Пример. .