Xii. неустановившаяся фильтрация упругой жидкости в упругой пористой среде
Основные определения
При пуске скважин в эксплуатацию, при остановке их, при изменении темпа добычи жидкости из скважин в пласте возникают неустановившиеся процессы, которые проявляются в перераспределении пластового давления (в падении или росте давления вокруг скважины), в изменениях с течением времени дебитов, скоростей фильтрационных потоков и т. д.
Особенности этих неустановившихся процессов зависят от упругих свойств пластов и насыщающих их жидкостей. Хотя коэффициенты сжимаемости воды, нефти и пористой среды очень малы (bв = 4,59×10-10 м2/Н, bн = (7¸30) 10-10 м2/Н, bс = (0,3¸2) 10-10 м2/Н), упругость жидкостей и породы оказывает огромное влияние на поведение скважин и пластов в процессе их эксплуатации, так как объемы пласта и насыщающей его жидкости могут быть очень велики. Поэтому при подсчете запасов нефти (и газа), при проектировании разработки нефтяных и газовых месторождений, при эксплуатации, при исследовании скважин, при создании подземных хранилищ газа приходится учитывать сжимаемость жидкости и пористой среды.
Объем насыщающей пласт жидкости при снижении пластового давления увеличивается, а объем порового пространства уменьшается; это и определяет вытеснение жидкости из пласта в скважину (или газовую залежь).
Если в процессе разработки преобладающей формой энергии является энергия упругой деформации пласта и сжатой жидкости, то режим пласта называется упругим. При этом предполагается, что фильтрационный поток однофазный, т. е. пластовое давление выше давления насыщения.
В условиях упругого режима характерно то, что процесс перераспределения давления происходит медленно (длительно), а не мгновенно, как это было бы при абсолютной несжимаемости пласта и насыщающей его жидкости.
В теории упругого режима большую роль играют два параметра:
I. Коэффициент упругоемкости пластагде
b* = mbж + bс (XII.1)
где т — пористость; bж и bс — соответственно коэффициенты сжимаемости жидкости и пористой среды.
Коэффициент b* численно равен изменению упругого запаса жидкости в единице объема пласта при изменении пластового давления на одну единицу. Иногда вместо коэффициента упругоемкости пласта используют приведенный модуль упругости
(XII.2)
2.Коэффициент пьезопроводности пласта
(XII.3)
он характеризует темп перераспределения пластового давления в условиях упругого режима. Эта величина аналогична коэффициенту температуропроводности в теории теплопередачи и впервые была введена В. II. Щелкачевым.
§2. Точные решения дифференциального уравнения упругого режима
Дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации можно записать
(XII.4)
Интегрируя дифференциальное уравнение (XII.4) при заданных начальном и граничных условиях, определяют давление в любой точке пласта в любой момент времени.
Решение задачи перераспределения давления после пуска скважины с постоянным дебитом Q в бесконечном горизонтальном пласте сводится к интегрированию дифференциального уравнения (XII.4), имеющего для плоскорадиальной фильтрации вид
(XII.5)
с начальным и граничными условиями
p(r, t) = pк при t = 0,
(XII.6)
p(r, t) = pк при r = .
Точное решение этой задачи при гс = 0 дается формулой
(XII.7)
(XII.8)
Эта табулированная функция называется интегральным экспоненциалом, или интегральной показательной функцией.
При малых значениях аргумента r2/4xt функцию — Ei можно приближенно заменить формулой
(XII.9)
и тогда
(XII.10)
Формула (XII.7) является основной формулой упругого режима пластов, широко применяющейся при исследовании процесса перераспределения пластового давления, вызванного пуском скважин с постоянными дебитами, остановкой скважин, изменениями темпов добычи и т. д.
Формулу (XII.7) также можно использовать в случае притока жидкости к скважине конечного радиуса и в начальной стадии изменения давления в пласте конечных размеров. При неустановившейся параллельно-струйной фильтрации упругой жидкости к галерее, расположенной в полосообразном полубесконечном пласте перпендикулярно к оси Ох в сечении х = 0 (рис. 74) и эксплуатирующейся с постоянным давлением на забое галереи рг, давление в любой точке пласта в любой момент времени получим, интегрируя уравнение
(XII.11)
при начальном и граничных условиях
p(x, t) = pк при t = 0,
p(x, t) = pг при x = 0, (XII.12)
p(x, t) = pк при x = ,
Решение выражается формулой
(XII.13)
где
а
. (XII.14)
—интеграл вероятности.
Подробное решение задачи о неустановившемся притоке упругой жидкости к галерее при постоянном отборе приведено ниже (см. задачу 114).